(配套教参)第七章 第6节 第1课时 利用空间向量求空间角-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第6节　利用空间向量研究夹角、距离问题 课程标准解读 1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.2.能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用． [知识梳理] 1．空间角 (1)空间中两条直线所成的角 设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ. ①θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉． ②sin θ＝sin〈v1，v2〉或cos θ＝|cos〈v1，v2〉|． (2)直线与平面所成的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ.则 ①θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－. ②cos θ＝sin〈v，n〉，sin θ＝|cos〈v，n〉|． (3)二面角 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，如图(1)(2)所示， 　 (1)　　　　　　(2)　 θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝sin〈n1，n2〉． 　(1)两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值． (2)直线与平面所成角的范围为，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值． (3)注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0，π]，两个平面的夹角的范围为. 2．空间距离 (1)点P到直线l的距离 设＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u. 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 PQ＝＝__． (2)点P到平面α的距离 若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一点P到平面α的距离d＝＝，如图所示． (3)线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离． 常用结论 直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)设a，b是异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角就是a，b的夹角．(　　) (2)设a是直线l的方向向量，b是平面α的法向量，则直线l与平面α所成的角就是a，b的夹角．(　　) (3)设a，b是两个平面α，β的法向量，则α与β所成的二面角的大小等于a，b的夹角的大小．(　　) (4)利用||2＝·可以求空间中有向线段的长度．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)已知直线l1的方向向量s1＝(1，0，1)，直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1与l2的夹角的余弦值为________． 解析：由题意可知 l1与l2夹角的余弦值为|cos〈s1，s2〉|＝＝. 答案： 3．(教材改编)设直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，平面α的法向量为n＝(－1，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________． 解析：设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝＝. 答案： 4．(易错自纠)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为________． 解析：设两平面所成的二面角为θ，则|cos θ|＝|cos 〈m，n〉|＝，故θ＝45°或135°. 答案：45°或135° 5．(易错自纠)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，F为AB的中点，则CF到平面AEC1的距离为________． 解析：建系如图，则E(，0，1)，C1(1，1，1)，F(，0，0)， C(1，1，0)，＝(1，1，1)， ＝(，0，1)，＝(，0，0)． 设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则，令x＝2，则z＝－1，y＝－1. 故n＝(2，－1，－1)是平面AEC1的一个法向量， 则点F到平面AEC1的距离为d＝＝， 由于CF∥平面AEC1，故直线CF到平面AEC1的距离为. 答案： 第1课时　利用空间向量求空间角 考点一　异面直线所成的角（综合性） 　(1)(2022·河南高中调研)如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，B是底面圆周上的一点，且∠BOC＝60°，M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． [解析]　以O为坐标原点，过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设OC＝2