(配套教参)第七章 第5节 空间向量及其运算-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第5节　空间向量及其运算 课程标准解读 1．了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． [知识梳理] 1．空间向量及其有关定理 概念 语言描述 共线向量(平行向量) 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或向量共线)，通常规定零向量与任意向量平行． 共面向量 一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面． 共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. 共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． 空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 空间向量基本定理中，p用a，b，c表示的表达式p＝xa＋yb＋zc唯一．特别地，当a， b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0. 2.空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b， (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥b⇔a·b＝0； (3)设a＝(x1，y1，z1)，则|a|2＝a2，|a|＝. 3．空间向量运算的坐标表示 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2) 向量和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 向量差 a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2) 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2 共线 a∥b⇒x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 4.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l． (2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时，也称n与平面α垂直，记作n⊥α． (3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． 5．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝km(k∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝km(k∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 常用结论 1．在空间中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为空间任意一点． 2．在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.(　　) (2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．(　　) (3)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改编)若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是(　　) A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 解析：C　因为λa＋μb(λ，μ∈R)与a，b共面，所以A、B、D都不正确． 3．(教材改编)设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝(　　) A．10 B．－10 C．2 D．－2 解析：A　因为l1⊥l2，所以a⊥b，则a·b＝－6－4＋m＝0，得m＝10. 4．(易错自纠)如图，平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为________． 解析：＝＋＝－－＝－－(＋)＝－－－＝