(配套教参)第六章 数学建模3 数列模型在实际问题中的应用-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

数学建模3　数列模型在实际问题中的应用 课程标准解读 能在具体的问题情境中识别数列的等差、等比关系，并能用等差、等比数列的有关知识解决相应的问题． 考点一　数学文化中的数列问题（综合性） 　(1)(2023·山师附中月考)朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是(　　) A．5　　　 B．6　　　 C．7　　　 D．8 [解析]　设最上面一层放a1根，一共放n(n≥2)层，则最下面一层放a1＋(n－1)根，由等差数列前n项和公式得＝132， ∴2a1＝－n＋1. ∵a1∈N*，∴n为264的因数，且－n＋1为偶数，把各个选项分别代入，验证可得n＝8满足题意．故选D． [答案]　D (2)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢？(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 [解析]　不妨设大老鼠和小老鼠每天穿墙的厚度为数列{an}和{bn}， 则由题意可知，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列， 设前n天两鼠总共穿墙的厚度之和为Sn， 则Sn＝＋＝2n－＋1， 当n＝3时，S3＝<10， 当n＝4时，S4＝>10， 故两个老鼠在第4天相逢． [答案]　C 对于以数学文化为背景的数列问题，解题时常常受困于陌生背景，无法获得解题思路．所以解题时应认真审题．从问题背景中发现等差、等比数列的关系，从而构建数学模型，再利用有关公式求解作答，必要时进行检验． 1．(2023·烟台重点中学联考)十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的点集即是“康托三分集”．若要使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数n的最大值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：B　记an表示第n次去掉的长度，所以a1＝，第2次操作，去掉的线段长为a2＝，……，第n次操作，去掉的线段长度为 an＝，所以Sn＝＝1－，则1－＜，即＞≈0.1004.又≈0.1317，≈0.0878，所以n的最大值为5.故选B. 考点二　实际生活中的数列问题（应用性） 　(多选题)(2023·昌乐二中月考)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式．方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同．银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款)．已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%，则下列说法正确的是(　　) (参考数据：1.004240≈2.61，计算结果取整数) A．选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该笔贷款的总利息为289 200元 B．选择方式②，小张每月还款额为3800元 C．选择方式②，小张总利息约为333 840元 D．从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式① [解析]　对于A，由题意可知，在等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为{an}，Sn表示数列{an}的前n项和，则a1＝4900，a240＝2510，则S240＝＝120×(4900＋2510)＝889 200， 故小张该笔贷款的总利息为889 200－600 000＝289 200(元)，故A正确； 对于B，设小张每月还款额为x元， 则x＋x(1＋0.004)＋x(1＋0.004)2＋…＋x(1＋0.004)239＝600 000×(1＋0.004)240， 所以x×＝600 000×1.004240，即x＝ ≈≈3891，故B错误； 对于C，小张采取等额本息贷款方式的总利息约为3891×240－600 000＝933 840－600 000＝333 840(元)，故C正确； 对于D，因为333 840＞289 200，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①，