(配套教参)第九章 第4节 概率的基本性质及事件的相互独立性-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第4节　概率的基本性质及事件的相互独立性

课程标准解读

1．理解概率的基本性质，并能解决概率问题.2.了解两个事件相互独立的含义.3.理解随机事件的独立性．

[知识梳理]

1．概率的基本性质

(1)P(A)≥0.

(2)P(Ω)＝1，P(∅)＝0．

(3)如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(4)若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)，P(B)＝1－P(A)．

(5)如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．

(6)设A、B是一个随机试验中的两个事件，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

2．两个事件相互独立的定义

对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．

3．独立事件的性质

(1)必然事件Ω，不可能事件都与任意事件相互独立．

(2)如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．

(3)如果A1，A2，…，An相互独立，那么P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．

常用结论

1．事件的关系与运算

(1)A，B中至少有一个发生的事件为A＋B.

(2)A，B都发生的事件为AB.

(3)A，B都不发生的事件为 .

(4)A，B恰有一个发生的事件为(A)＋( B)．

(5)A，B至多有一个发生的事件为( B)＋(A )＋(　)．

2．相互独立事件的概率

若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1＋A2＋…An)＝1－P(1)P(2)…P(n)．

[诊断自测]

1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)

(1)对于任意两个事件A，B，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　)

(2)独立事件可能是互斥事件也可能不是互斥事件，而互斥事件一定不是独立事件．(　　)

(3)若事件A，B互斥，则P(A)＋P(B)<1.(　　)

(4)若事件A，B，C独立，则P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．(教材改编)天气预报预测，在元旦假期期间甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　)

A．0.2　　　　　　　　　 B．0.3

C．0.38  D．0.56

解析：C　0.2×(1－0.3)＋(1－0.2)×0.3＝0.38.

3．(教材改编)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.8，乙中靶的概率为0.9，则至多有一人中靶的概率为________．

解析：1－P(AB)＝1－0.9×0.8＝0.28.

答案：0.28

4．(易错自纠)设P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A与B相互独立，则P(AB)＝________，P(A∪B)＝________．

解析：P(AB)＝P(A)×P(B)＝0.7×0.8＝0.56.

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7＋0.8－0.56＝0.94.

答案：0.56　0.94

5．(易错自纠)甲、乙、丙三人将参加某项测试．他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率为________，三人中至少有一人达标的概率

为________．

答案：0.24　0.96

考点一　互斥事件、对立事件的概率（基础性）

1．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为(　　)

A．0.95　　　　　 B．0.97

C．0.92  D．0.08

解析：C　记“抽检的产品是甲级品”为事件A，是“乙级品”为事件B，是“丙级品”为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.

2．人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X→X；②O→X；③X→AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者)．已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为(　　)

A．0.27  B．0.31

C．0.42  D．0.69

解析：B　当受血者为A型血时，供血者可以为A型或O型，即B，AB两种血型不能为供血者，我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为P＝24%＋7%＝31%＝0.31.故选B.

3．某工厂生产了一批雪车，这批产品按质量分为一等品，二等品，三等品．从这批雪车中随机抽取一台雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.85，则抽到一等品的概率为________．

解析：设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为A，B，C，则