(配套教参)第二章 函数与基本初等函数 助学培优-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

函数的周期性、对称性及奇偶性是函数的重要性质，同时它们之间互相作用，密不可分．综合研究它们的相互关系，并由此而得出的性质和结论，对于解决函数中的问题大有益处． 一、函数奇偶性与周期性的应用 　(1)若f(x)是定义在R上的周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝(　　) A．－1　　　　　　　　 B．1 C．－2 D．2 [解析]　由题意可得f(x＋5)＝f(x)，f(x)＝－f(－x)， 所以f(x＋5)＝－f(－x)， 即f(x＋5)＋f(－x)＝0， 所以f(x)的图象关于点(，0)对称， 所以f(3)＋f(2)＝f(4)＋f(1)＝0， 所以f(3)－f(4)＝f(1)－f(2)＝1－2＝－1. [答案]　A (2)(多选题)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上单调递减，下面关于f(x)的判断正确的是(　　) A．f(0)是函数的最小值 B．f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．f(x)在[2，4]上单调递增 D．f(x)的图象关于直线x＝2对称 [解析]　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数， 又f(x)在[－2，0]上单调递减，在R上是偶函数， ∴在[0，2]上单调递增， ∴f(0)是函数的最小值，则A项正确． B项，由f(x＋2)＋f(－x)＝0， ∴f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，B正确． 又在[0 ，2]上单调递增，f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)在[2，4]上单调递减，C项错误． D项，∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)， 故函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，D正确． [答案]　ABD 第(1)题求解的关键在于综合考虑函数f(x)既是周期函数又是奇函数，得出函数图象关于点(，0)中心对称． 1．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2023)＋f(2024)＝(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：C　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(－2023)＝－f(2023)． 因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)， 所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次． 又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1， 所以f(2023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2， f(2024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝3. 故f(－2023)＋f(2024)＝－f(2023)＋3＝1. 二、函数周期性与图象对称性的应用 　(2023·广东广州八校联考)定义在R上的函数f(x)满足y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，当x≥0时，f(x)＝f(x＋2)，且当x∈(0，1)时，f(x)＝4x＋1，则f(2024)＋f(log4)＝(　　) A．－1　　 B．－3　　 C．1　　 D．3 [解析]　因为将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位长度可得到函数f(x)的图象，且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，即函数f(x)是R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝f(x＋2)，所以f(2024)＝f(0)＝0. 当x∈(0，1)时，f(x)＝4x＋1， 所以f(log4)＝f(log222－5)＝f(－) ＝－f()＝－f()＝－3. 所以f(2024)＋f(log4)＝－3. [答案]　B 1．y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，等价于y＝f(x)是奇函数． 2．函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆． 2．(多选题)(2023·武汉重点中学质检)若函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，则下列选项一定正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1，0)对称 B．2是函数f(x)的一个周期 C．f(2025)＝0 D．f(2022)＝0 解析：AC　因为函数f(2x＋1)(x∈R)是奇函数． 所以f(2x＋1)＝－f(－2x＋1)，则f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0， 因此函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且f(1)＝0，A正确． 因为函数f(2x＋1)(x∈R)的周期为2，所以f(x)的周期为4，故B不正确． 因为函数f(x)的周期为4，所以f(2025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝0，故C