(配套教参)第二章 第6节 对数与对数函数-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第6节　对数与对数函数 课程标准解读 1．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念及其单调性与特殊点，能画具体的对数函数图象.3.知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． [知识梳理] 1．对数的概念 在表达式ab＝N(a＞0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数． 2．对数的性质、运算法则与换底公式 (1)对数的性质 ①alogaN＝N；②logaan＝n；③loga1＝0(a＞0且a≠1)；④logaa＝1. (2)对数的运算法则 如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，则 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMα＝αlogaM(α∈R)． (3)对数的换底公式 logab＝(a＞0且a≠1，c＞0且c≠1，b＞0)． 3．对数函数的图象与性质 y＝logax，a>1 y＝logax，0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即当x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是 增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 常用结论 1．换底公式的两个重要结论 (1)logab＝；(2)logambn＝logab. 其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m≠0，n∈R. 2．如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，(，－1)． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (3)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　) (4)函数y＝log2x与y＝log的图象重合．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　) A．0　　　　　　　 B．2 C．4 D．6 解析：D　原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6. 3．(教材改编)函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________． 解析：当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2)． 答案：(2，2) 4．(易错自纠)已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间[，]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意得 或解得<a<1. 答案：(，1) 5．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 解析：C　a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b. 考点一　对数的运算（基础性） 1．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　) A．　　 B．10　　 C．20　　 D．100 解析：A　由已知，得a＝log2m，b＝log5m， 则＋＝＋＝ logm2＋logm5＝logm10＝2. 解得m＝. 2．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25 B．5 C． D． 解析：C　由题意知b＝log83＝log23，则3b＝log23， 则23b＝2log23＝3， 所以4a－3b＝＝＝. 3．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 解析：C　将L＝4.9代入L＝5＋lg V，得4.9＝5＋lg V， 则lg V＝－0.1＝－＝lg 1