(配套教参)第二章 第4节 二次函数与幂函数-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第4节　二次函数与幂函数 课程标准解读 1．了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，理解它们的变化规律.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． [知识梳理] 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1)． ②如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． ③如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． 　幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．图象若与坐标轴有交点，则一定交于坐标原点． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)． (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． 3．二次函数的图象与性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 定义域 R 值域 [，＋∞) (－∞，] 单调性 在[－，＋∞)上单调递增； 在(－∞，－]上单调递减 在(－∞，－]上单调递增； 在[－，＋∞)上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 (－，) 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 常用结论 1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当a<0且Δ<0时，恒有f(x)<0. 2．幂函数的图象：在第一象限内，在直线x＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) (2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增．(　　) (3)当n是偶数时，幂函数y＝x(m，n∈Z，且m是奇数)是偶函数．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改编)函数y＝x－的大致图象是(　　) 解析：B　由幂函数的性质可知，函数y＝x－的图象在(0，＋∞)上单调递减，故A、C错误；函数y＝x－为偶函数，故D错误． 3．(教材改编)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b(a>1)的定义域和值域都为[1，a]，则b＝________． 解析：f(x)＝x2－2ax＋b的图象关于x＝a对称， ∴f(x)在[1，a]上为减函数， 又f(x)的值域为[1，a]， ∴ ∴a＝2，a＝1(舍)，∴b＝5. 答案：5 4．(易错自纠)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n＝________． 解析：由题意知n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验n＝1符合题意． 答案：1 5．(2023·合肥一中质检)设函数f(x)＝为奇函数，则g(x)＝x2＋ax＋b的单调递增区间是________． 解析：∵f(x)的定义域为(－1，1)，且f(x)为奇函数， ∴f(0)＝a－1＝0，则a＝1， ∴g(x)＝x2＋x＋b的单调递增区间为[－，＋∞)． 答案：[－，＋∞) 考点一　幂函数的图象和性质（基础性） 1．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．若幂函数的图象经过点(，2)，则其解析式为y＝x－3 B．若函数f(x)＝x－，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减 C．幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0，0)和(1，1) D．若函数f(x)＝，则对于任意的x1，x2∈[0，＋∞)，都有≤f() 解析：CD　若幂函数的图象经过点(，2)，则其解析式为y＝x－，故A错误．函数f(x)＝x－是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故其在(－∞，0)上单调递增，故B错误．幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0，0)和(1，1)，故C正确．作出y＝的图象，易知≤f()成立，D正确． 2．(2023·青岛联考)不等式(x2＋1)>(3x＋5)的解集为(　　) A．[－，－1)∪(4，＋∞) B．(－1，4) C．(4，＋∞) D．(－∞，－1)∪(4，＋∞) 解析：A　不等式(x2＋1)>(3x＋5)等价于x2＋1>3x＋5≥0， 解得－≤x<－1或x>4. 3．(2