(配套教参)第八章 助学培优 活用抛物线焦点弦的性质-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

抛物线焦点弦的性质： 以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B在准线上的射影为A1、B1，如图所示，则有以下结论： (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若直线AB的倾斜角为θ，且A位于x轴上方，B位于x轴下方，则|AF|＝，|BF|＝； (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦； (4)＋＝为定值； (5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切； (6)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°； (7)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线． 　[一题多解]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4　 B．　 C．5　 D．6 [解析]　解法一：由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m， 由抛物线的定义知 |AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m， 所以cos θ＝＝，所以sin2θ＝. 又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝. 解法二：因为|AF|＝2|BF|，所以＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝. [答案]　B 　设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． [解析]　由2p＝3，及|AB|＝， 得|AB|＝＝＝12. 原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝， 故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝. [答案]　D 活用抛物线焦点弦“二级结论”在解题中可快速准确求解，使用时注意条件判断． 1.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　) A．5 B．6 C． D． 解析：C　由题意可知，p＝2，因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝. 2．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为(　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x 解析：C　设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线AB的方程为x＝my＋，联立消去x得y2－2pmy－p2＝0，显然方程有两个不等实根．设A(x1，y1), B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4(舍负)， 即抛物线C的方程为y2＝8x. 学科网（北京）股份有限公司 $$