(配套教参)第八章 平面解析几何 热点突破课-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第2课时　圆锥曲线中的定点、定值问题 在几何问题中，如果满足一定条件的曲线系恒过某一定点，就是定点问题；有些几何量与参数无关，这就构成定值问题． 定点问题多为两类，一是证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率k与截距b的关系式，实现消元；二是证明圆过定点，此类问题应抓住圆心，依据相应条件进行相应变形，找出相应参数满足的条件，确定定点． 定值问题，涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算即可得到结果． [真题案例] 　(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B(，－1)两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． [思维导引] 理解题意 条件：①椭圆过两点；②过P点作直线；③＝. 思路探究 (1)设椭圆mx2＋ny2＝1利用A、B待定m、n. (2)当MN⊥x轴时，求M，N点进而求T点、H点，求NH方程. 当MN不垂直x轴时，设MN方程y＝kx＋m.同理求NH方程，求出定点. [解]　(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)代入A、B点坐标得n＝，m＝. ∴E的方程为＋＝1. (2)当直线MN的斜率不存在时，lMN：x＝1， 由，得y2＝，∴y＝±. 结合题意可知M(1，－)，N(1，)， ∴过M且平行于x轴的直线的方程为y＝－. 易知点T的横坐标xT∈，直线AB的方程为y－(－2)＝×(x－0)，即y＝x－2， 由，得xT＝3－， ∴T(3－，－)． ∵＝，∴H(5－2，－)， lHN：y－＝(x－1)， 即y＝x－2. 当直线MN的斜率存在时，如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，lMN：y＝kx＋m(k＋m＝－2)． 由，得 (3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，Δ＞0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. 过M且平行于x轴的直线的方程为y＝y1， 与直线AB的方程联立，得 得xT＝， ∴T(，y1)． ∵＝，∴H(3y1＋6－x1，y1)， lHN：y－y2＝(x－x2)， 即y＝x＋y2－·x2. 令x＝0，得y＝y2－ ＝ ＝. ∵y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝， y1＋y2＝(kx1＋m)＋(kx2＋m)＝k(x1＋x2)＋2m＝， x1y2＋x2y1＝x1(kx2＋m)＋x2(kx1＋m)＝2kx1x2＋m(x1＋x2)＝， ∴－(x1y2＋x2y1)＋3y1y2＝ ＋＝＝， －(x1＋x2)＋6＋3(y1＋y2) ＝＋6＋＝ ＝， ∴y＝＝－2， ∴直线HN过定点(0，－2)． 综上，直线过定点(0，－2)． 1．常用的处理方法 (1)从特殊入手，先求出定点或定值，再证明这个点或值与参数无关； (2)直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点或定值． 2．选择合适的参数，并利用这个参数得到有关的曲线方程或函数关系式是解决问题的关键． 热点突破一　直线过定点问题 　(2022·重庆市学业抽测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(，)，且离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P(0，1)的两条直线分别和椭圆C交于不同两点A，B(A，B异于点P且不关于坐标轴对称)，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1·k2＝1，试问直线AB是否恒过一定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． [解]　(1)由e＝＝得＝， ＋＝1过点(，)， 得＋＝1， ∴a＝2，b＝1， ∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)直线AB恒过一定点(0，－)． 理由如下： 由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0， 设直线AB的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠1)， A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立得，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝64k2－16m2＋16>0， x1＋x2＝，x1x2＝， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝＋2m＝， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝， ∴k1k2＝＝＝＝1， 整理得3m2＋2m－5＝0， ∴m＝－或m＝1(舍去)，∴直线AB恒过一定点(0，－)． 设直线为y＝kx＋m，一般认为直线过定点(0，m)，故需求m的值． 1．(2022·佛山高中质检)已知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，且过点P(3，)． (1)求C的方程； (2)设Q(1，0)，直线x＝t(t∈R)不经过点P且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，求证：直线AD过定点． 解：(1)设双曲线标准方程为－y2＝λ(λ≠0)