(配套教参)第八章 第5节 第1课时 椭圆及其几何性质-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第5节　椭圆 课程标准解读 1．掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.2.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.3.了解椭圆的简单的应用． [知识梳理] 1．椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 　2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；2a＜|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c间的关系 c2＝a2－b2 　由e＝＝ 知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁平；e越小，b越大，椭圆越接近于圆． 常用结论 1．若点P在椭圆上，点F为椭圆的一个焦点，则 (1)b≤|OP|≤a； (2)a－c≤|PF|≤a＋c. 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S. (1)当P为短轴端点时，θ最大； (2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长|AB|＝ |x1－x2|＝ ·|y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－.(y0≠0) [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　) (3)若椭圆的短轴端点为B，焦点为F，则cos∠OFB＝e.(　　) (4)＋＝1(a＞b＞0)与＋＝1(a＞b＞0)的焦距相同．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(教材改编)设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|＝(　　) A．4　　 B．8　　 C．6　　 D．18 答案：C 3．(教材改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(　　) A． B． C．2－ D．－1 解析：D　由题意可知，|PF2|＝|F1F2|＝2c， |PF1|＝2c.因为|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴2c＋2c＝2a，解得＝－1，故选D． 4．(易错自纠)若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝__________． 答案：4或8 5．(易错自纠)若椭圆经过定点(4，0)，长轴是短轴的2倍，则椭圆的标准方程为________． 答案：＋＝1或＋＝1 第1课时　椭圆及其几何性质 考点一　椭圆的定义及其应用（基础性） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　) A．圆　　　　　　 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：B　点P在线段AN的垂直平分线上， 故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径， ∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6＞|MN|， 由椭圆定义知，点P的轨迹是椭圆． 2．(2023·江南十校联考)椭圆C：＋y2＝1(a＞0)的左右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N.O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF1F2的周长是(　　) A．2(＋) B．＋2 C．＋ D．4＋2 解析：A　因为O，M分别为F1F2和PF1的中点，所以OM∥PF2，且|OM|＝|PF2|，同理，ON∥PF1，且|ON|＝|PF1|，所以四边形OMPN为平行四边形，由题意知，|OM|＋|ON|＝，故|PF1|＋|PF2|＝2，即2a＝2，a＝，由a2＝b