(配套教参)第八章 第5节 第2课时 直线与椭圆的位置关系-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第2课时　直线与椭圆的位置关系 考点一　直线与椭圆的位置关系（基础性） 1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．m＞1　　　　　　 B．m＞0 C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5 解析：D　由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 则0＜≤1且m≠5， 故m≥1且m≠5. 2．过圆x2＋y2＝r2上一定点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2，此结论可推广到圆锥曲线上．过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y－3＝0 C．2x＋3y－3＝0 D．3x－y－10＝0 解析：A　过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)的切线l的方程为＋＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1，与直线l垂直的直线的斜率为－1，过A点且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0，故选A． 研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数． (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． 考点二　弦长及中点弦问题（综合性） [角度1]　弦长问题 　(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________． [解析]　由＝，知a＝2c(如图)， 即|AF2|＝2|OF2|，∴∠AF2O＝60°， 即△AF1F2为正三角形，DE⊥AF2且过F1点，∴DE为AF2的垂直平分线， ∴|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|， △ADE的周长为|AD|＋|DF1|＋|F1E|＋|AE| ＝|DF2|＋|DF1|＋|EF1|＋|EF2|＝4a. DE的方程为y＝(x＋c)，代入椭圆C的方程＋＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴|DE|＝ ＝＝＝6， ∴c＝，∴a＝2c＝， ∴△ADE的周长为4×＝13. [答案]　13 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种： ①|AB|＝ |x1－x2|； ②|AB|＝ |y1－y2|(k≠0)． [角度2]　中点弦问题 　[一题多解]已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________． [解析]　解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由消去y得， (2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0， ∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2， ∴＝2，解得k＝－. 经检验，k＝－满足题意． 故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. 解法二：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，　① ＋＝1，　② ①－②得＋＝0， ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－. 经检验，k＝－满足题意． ∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. [答案]　x＋2y－3＝0 解决中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率； (2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 1．已知椭圆E：＋＝1的左、右两焦点F1，F2，直线l的倾斜角为且过F1交E于A，B两点，则△ABF2的面积为________． 解析：由椭圆E的方程为＋＝1， 得c＝1，即F1(－1，0)，F2(1，0)， 所以直线l的方程为y＝(x＋1)， 由消去y，得5x2＋8x＝0， 解得x1＝0，x2＝－， 所以y1＝，y2＝－. 所以S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1×＝. 答案： 2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是________． 解析：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x