(配套教参)第八章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系 课程标准解读 1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． [知识梳理] 1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点 d＞r d＝r d＜r 2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) |O1O2|>r1＋r2⇔⊙O1与⊙O2相离； |O1O2|＝r1＋r2⇔⊙O1与⊙O2外切； |r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2⇔⊙O1与⊙O2相交； |O1O2|＝|r1－r2|⇔⊙O1与⊙O2内切(r1≠r2)； |O1O2|<|r1－r2|⇔⊙O1与⊙O2内含． 常用结论 1．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 3．过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　) (3)设f(x，y)＝0表示直线l，g(x，y)＝0表示⊙C，则方程g(x，y)＋λf(x，y)＝0表示过l与⊙C交点的所有圆．(　　) (4)设f(x，y)＝0表示⊙C1，g(x，y)＝0表示⊙C2，则方程f(x，y)＋λg(x，y)＝0表示过⊙C1与⊙C2交点的所有圆．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　) A．相切　　　　 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 解析：B　圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1即x－y＋1＝0的距离d＝＝，而0<<1，但是圆心不在直线y＝x＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心． 3．(教材改编)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为(　　) A．　　　　　　　 B．2 C． D．2 解析：D　直线为x－y＝0，圆心为(0，2)，半径为2，∴d＝1，∴l＝2＝2. 4．(易错自纠)若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝__________． 答案：±2 或0 考点一　直线与圆的位置关系（基础性） 1．(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是__________． 解析：由题意知点A(－2，3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2，2a－3)，所以kA′B＝，所以直线A′B的方程为y＝x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0. 由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，易知圆心为(－3，－2)，半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 答案： 2．(多选题)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个结论中正确的有(　　) A．直线l恒过定点(3，1) B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离 解析：AC　将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0， 由解得 则无论m为何值，直线l过定点(3，1)，又点(3，1)在圆C内部，故直线l与圆C恒相交，故AC正确，BD不正确． 3．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　) A．(＋1，＋∞)　　　 B．(－1，＋1) C．(0，－1) D．(0，＋1) 解析：A　计算得圆心到直线l的距离为＝ ＞1，如图． 直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1. 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 考点二　圆的切线、弦长问题（综合性） [角度1]　圆的切线问题 　(1)[一题多解](2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线