(配套教参)第八章 第1节 直线的倾斜角、斜率与直线方程-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第1节　直线的倾斜角、斜率与直线方程 课程标准解读 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)． [知识梳理] 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；倾斜角的取值范围是[0，π)． (2)斜率公式 ①一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan_θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在． ②若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在． 2．直线的方向向量、法向量 (1)直线的方向向量的定义 一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l. (2)直线方向向量的有关结论 ①如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量． ②如果直线l的斜率为k，则(1，k)是直线l的一个方向向量． ③若直线的方向向量为a＝(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k＝． (3)直线的法向量的定义 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.一条直线的方向向量与法向量互相垂直． 3．直线方程的五种形式 名称 已知条件 方程 使用范围 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 所有直线 常用结论 1．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． 2．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)所有的直线都有唯一的倾斜角，也就是都有唯一的斜率．(　　) (2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　) (3)直线的纵截距就是直线与y轴的交点到原点的距离．(　　) (4)直线l向上的方向与y轴的正方向所成的角与该直线的倾斜角互余．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　) A．1　　 B．4　　 C．1或3　　 D．1或4 解析：A　由题意得斜率k＝＝1，解得m＝1. 3．(教材改编)过点P(－1，)且倾斜角为30°的直线方程为(　　) A．x－3y＋4＝0 B.x－y＋2＝0 C．x－3y＋2＝0 D．x－y＝0 解析：A　k＝tan 30°＝， 故y－＝(x＋1)，即x－3y＋4＝0. 4．(易错自纠)经过点M(3，0)与N(6，0)两点的直线的倾斜角为________． 答案：0° 5．(易错自纠)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________． 解析：当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0. 答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0 考点一　直线的倾斜角与斜率（基础性） 1．已知两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈[－－1，－1]，则直线AB的倾斜角α的取值范围是(　　) A．[，)　　　　　　 B．(，] C．[，)∪(，] D．[，] 解析：D　①当m＝－1时，α＝； ②当m≠－1时，由m∈[－－1，－1]得k＝∈(－∞，－]∪[，＋∞)，∴α∈[，)∪(，]． 综合①②知直线AB的倾斜角α的取值范围是[，]． 2．若正三角形AOB(O是原点)一边所在直线的斜率为3，则该三角形另外两条边所在直线的斜率为(　　) A．－， B．－， C．－， D．－， 解析：C　如图，不妨设kOA＝3，即tan θ＝3，所以kOB＝tan(θ＋)＝＝＝－，kAB＝tan(θ－)＝＝＝，故选C． 3．直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0， )为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________