(配套教参)第一章 第5节 均值不等式及其应用-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第5节　均值不等式及其应用 课程标准解读 1．了解均值不等式的证明过程. 2.能用均值不等式解决简单的最值问题. 3.掌握均值不等式在生活实际中的应用． [知识梳理] 1．均值不等式：≤ (1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤()2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 3．利用均值不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2． (2)已知x，y都是正数，如果x＋y的和等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2． 　利用均值不等式求最值要注意：(1)前提条件是“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错． (2)一定要尽量避免多次使用均值不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致(等号同时成立)． 常用结论 1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． 2．ab≤()2≤. 3.≤ ≤≤ (a>0，b>0)． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)不等式a2＋b2≥2ab与≥ 成立的条件是相同的．(　　) (2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)函数f(x)＝cos x＋，x∈(0，)的最小值等于4.(　　) (4)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改编)设x，y∈R，且x＋y＝4，则3x＋3y的最小值为(　　) A．16　　 B．81　　　 C．18　　 D．27 解析：C　因为3x＋3y≥2＝18，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以(3x＋3y)min＝18. 3．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2，此时矩形场地的长、宽分别是________m. 解析：设矩形的一边为x m，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，所以面积y＝x(10－x)≤()2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，所以ymax＝25. 此时矩形的长与宽均为5 m. 答案：25　5，5 4．(易错自纠)若x>0，则函数y＝x＋－的最小值为________． 解析：y＝x＋－＝(x＋)＋－2 ＝＋－2≥2－2＝0. 当且仅当＝，即x＝时取等号． ∴函数的最小值为0. 答案：0 5．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4　　 B．y＝|sin x|＋ C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋ 解析：C　对于A，y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，当且仅当x＝－1时取等号，A错误；对于B，因为0<|sin x|≤1，y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|＝2时取等号，又|sin x|≠2，B错误；对于C，2x＋22－x≥2＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝1时取等号，C正确；对于D，y＝ln x＋的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，而ln x∈R且ln x≠0，当0<x<1时，ln x<0，y＝ln x＋<0，D错误． 考点一　利用均值不等式求最值(基础性) [角度1]　配凑法求最值 　(1)若x<，则f(x)＝3x＋1＋有(　　) A．最大值0　　　 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3 [解析]　由x<，知2－3x>0， 则f(x)＝3x＋1＋＝－[(2－3x)＋]＋3. 由于2－3x＋≥2＝6， 当且仅当2－3x＝，即x＝－时，上式取等号． ∴f(x)≤－6＋3＝－3，则f(x)的最大值为－3. [答案]　C (2)若0<x<，则x的最大值为________． [解析]　∵0<x<，∴1－2x2>0， x＝·x ≤·()＝. 当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时等号成立． 故x的最大值为. [答案]　 [角度2]　常数代换法求最值 　若直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，则＋的最小值为(　　) A．2　　 B．6　　　 C．12　　 D．3＋2 [解析]　因为直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)， 所以2m＋2n－2＝0，即m＋n＝1， 所以＋＝(＋)(m＋n)＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当＝，即n＝m时取等号， 所以＋的最小值为3＋2. [答案]　D [角度3]　消元法求最值 　(2023·锦州高三期中)已知正实数x，y满足x－2y＝1，则＋y的最小值为________． [解析]　由x－2y＝1可得x＝2y＋1，且2y＋1>0，所以＋y＝