(配套教参)第一章 第4节 绝对值不等式与一元二次不等式的解法-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第4节　绝对值不等式与一元二次不等式的解法 课程标准解读 1．了解绝对值不等式，会解简单的绝对值不等式.2.会从实际情景中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义. 3.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系. 4.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式． [知识梳理] 1．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集 不等式 a＞0 a＝0 a＜0 |x|＜a (－a，a) ∅ ∅ |x|＞a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R (2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c． (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 3．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实数根x1，x2(x1<x2) 有两相等实数根 x1＝x2＝－ 没有 实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x>x2或x<x1} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 4．(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 常用结论 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 2．简单分式不等式 (1)≥0⇔ (2)>0⇔f(x)g(x)>0. [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) (3)不等式x2≤a的解集为[－，]．(　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为R.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改编)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－<x<}，则a－b的值是(　　) A．－10　　 B．－14　　　 C．10　　 D．14 解析：A　由题意知，－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根， 所以解得 故a－b＝－10. 3．(教材改编)不等式|x|－1＜0的解集为________． 解析：|x|－1＜0即|x|＜1，－1＜x＜1. 答案：(－1，1) 4．(易错自纠)若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为(　　) A．(6，7] B．(6，7) C．[6，7) D．(6，＋∞) 解析：A　原不等式可化为(x－2)(x－m)<0，若m＝2，则不等式的解集是∅，若m<2，则不等式的解是m<x<2， 此时不等式的解集中不可能有4个正整数，所以m>2， 所以不等式的解是2<x<m， 所以不等式的解集中的4个正整数分别是3，4，5，6， 故实数m的取值范围是(6，7]． 5．不等式<1的解集为________． 解析：<1，即<0，解得－7<x<2，因此不等式的解集为(－7，2)． 答案：(－7，2) 考点一　一元二次不等式的求解(基础性) 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集为________． 解析：－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0， ∴x<－1或x>. 答案：{x|x<－1或x>} 2．解不等式≤2. 解：原不等式可化为≥0， 即或解得x>或x≤1. 故所求不等式的解集为{x|x>或x≤1}． 3．已知函数