(配套教参)第一章 第3节 等式与不等式性质-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教B版）

第3节　等式与不等式性质 课程标准解读 1．理解用作差法比较两个实数大小的理论依据. 2.梳理等式的性质理解不等式的概念. 3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． [知识梳理] 1．证明不等式的方法 (1)作差法 (2)作商法 (3)证明不等式还常用综合法、反证法和分析法． 2．等式的性质 (1)等式的两边同时加上或减去同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 3．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c； (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 　不等式性质中有些是可逆的，有些是不可逆的． 常用结论 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<； (2)a<0<b⇒<； (3)a>b>0，0<c<d⇒>. 2．有关分式的性质 若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0)． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)a>b⇔ac2>bc2.(　　) (2)a＝b⇔ac＝bc.(　　) (3)若>1，则a>b.(　　) (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则(　　) A．M>N　　　　　 B．M≥N C．M<N D．M≤N 解析：A　因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N. 3．(多选题)(教材改编)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b　　　　　 B．> C.> D．ac3<bc3 解析：ABC　由不等式性质，显然AB正确． 由－＝>0，知C正确． 当c＝0时，ac3<bc3不成立，D错误． 4．(易错自纠)已知－1<a<2，－3<b<5，则a－b的取值范围是(　　) A．(－3，2) B．(－6，5) C．(－4，7) D．(－5，－1) 解析：B　∵－3<b<5，∴－5<－b<3， 又－1<a<2，∴－6<a－b<5. 5．(易错自纠)已知a<b<c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a2<b2<c2 B．ab2<cb2 C．ac<bc D．ab<ac 解析：C　∵a<b<c且a＋b＋c＝0，∴a<0，c>0. 由a<b，得ac<bc. 考点一　比较数(式)的大小(基础性) 1．若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B　　　　　　 B．A≥B C．A<B D．A>B 解析：B　由题意得，B2－A2＝－2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B. 2．若a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 解析：B　解法一：易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<1，所以a>b；＝＝ log6251024>1，所以b>c，即c<b<a. 解法二：构造函数f(x)＝，则f′(x)＝， 由f′(x)>0，得0<x<e； 由f′(x)<0，得x>e. ∴f(x)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)为减函数． ∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c. 3．已知实数a，b满足a＋b>0，则x＝＋与y＝＋的大小关系为(　　) A．x>y B．x<y C．x≤y D．x≥y 解析：D　x－y＝＋－(＋) ＝＋＝(a－b)(－) ＝. ∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴≥0， ∴＋≥＋，∴x≥y. 比较两数(式)大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 考点二　不等式的基本性质(综合性) 　(1)(多选题)(2023·湛江模拟)若a>b，则下列不等式中正确的有(　　) A．a－b>0　　　　　　　 B．2a>2b C．ac2>bc2 D．a2>b2 [解析]　显然A正确，由y＝2x是增函数，则B正确． 当c＝0时，ac2＝bc2，故C不正确． D项中，若0>a>b时，则b2>a2，所以D错误． [答案]　AB (2)(多选题)若<<0，则下列不等式中正确的是(　　) A.< B．|a|＋b>0 C．a－>b－ D．ln a2>ln b2 [解析]　由<<0，可知b<a<0，