(配套教参)第十章 第3节 成对数据的统计分析-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

第3节　成对数据的统计分析 课程标准解读 1．了解样本相关系数的统计含义、样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.2.了解一元线性回归模型的含义，及模型参数的统计意义、最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.4.掌握分类变量的含义．理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用． [知识梳理] 1．变量的相关关系 (1)定义：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． (2)正相关、负相关 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关． (3)变量的线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 2．样本相关系数 (1)定义：r＝ . 我们称r为变量x和变量y的样本相关系数． 当r>0时，称成对样本数据正相关．当r<0时，称成对样本数据负相关． (2)r与线性相关的程度 样本相关系数r的取值范围为[－1，1]．样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对数据之间线性相关的程度： 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 3．一元线性回归模型 (1)经验回归方程 记＝xi，＝yi.因此当a，b的取值为 我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计． (2)残差分析 ①对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． ②残差的散点图 比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则满足一元线性回归模型对随机误差的假设． ③决定系数R2＝1－. 在R2表达式中， (yi－)2与经验回归方程无关，残差平方和与经验回归方程有关． 因此R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差． 　(1)回归直线＝x＋必过样本点的中心(，)． (2)残差图的点分布在以横轴为对称轴的带状区域内， 经验回归方程刻画实际问题较好． 4．列联表与独立性检验 (1)2×2列联表 如图，给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为2×2列联表． X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d (2)独立性检验 依据上述2×2列联表构造统计量χ2＝. 利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． (3)基于小概率值α的检验规则： 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立(其中xα为α的临界值)． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系来表示．(　　) (2)任何一组数据都对应着一个经验回归方程．(　　) (3)独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法．(　　) (4)在独立性检验中，两个分类变量的χ2值越大判断犯错的概率越大．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改编)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的经验回归方程可能是(　　) A．＝0.4x＋2.3　　 B．＝2x－2.4 C．＝－2x＋9.5 D．＝－0.3x＋4.4 解析：A　由题意，x与y正相关，故排除C，D，将(，)代入经验回归方程检验得A正确． 3．(教材改编)为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力(　　) A．回归分析　　　　　　 B．均值与方差 C．独立性检验 D．概率 答案：C 4．(易错自纠)某医疗机构通过抽样调查(样本容量n＝1000)，利