(配套教参)第三章 助学培优 构造函数在导数中的应用-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

有些题目以函数为背景，题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)”“f(x)·g(x)”“”等特征式，旨在考查导数运算法则的逆向变形应用能力．解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题． 一、利用f(x)与xn构造可导函数 　已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________． [解析]　构造F(x)＝，则F′(x)＝，当x＞0时，xf′(x)－2f(x)＜0，推出当x＞0时，F′(x)＜0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减． ∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，∴F(x)为偶函数， ∴F(x)在(－∞，0)上单调递增． 根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性得函数图象(图略)． 根据图象f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)． [答案]　(－1，0)∪(0，1) 1．对于xf′(x)＋nf(x)＞0型，构造F(x)＝xnf(x)，则F′(x)＝xn－1[xf′(x)＋nf(x)](注意对xn－1的符号进行讨论)，特别地，当n＝1时，xf′(x)＋f(x)＞0，构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0. 2．对于xf′(x)－nf(x)＞0型，且x≠0，构造F(x)＝，则F′(x)＝(注意对xn＋1的符号进行讨论)，特别地，当n＝1时，xf′(x)－f(x)＞0，构造F(x)＝. 1．设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集为________． 解析：构造函数F(x)＝xf(x)， 则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)， 当x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，即F′(x)＜0. ∴F(x)在(－∞，0)上单调递减． ∵f(x)为偶函数，x为奇函数， ∴F(x)为奇函数， ∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减． 根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得xf(x)＞0的解集为(－∞，－4)∪(0，4)． 答案：(－∞，－4)∪(0，4) 二、利用f(x)与ex构造可导函数 　(多选题)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)＜f(x)对于x∈R恒成立，则(　　) A．f(2)＜e2f(0)　　 B．f(2)＞e2f(0) C．e2f(－1)＞f(1) D．e2f(－1)＜f(1) [解析]　设F(x)＝，则F′(x)＝. ∵f′(x)＜f(x)，则F′(x)＜0. ∴F(x)在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴F(2)＜F(0)，即＜，则f(2)＜e2f(0)． 又F(－1)＞F(1)，即＞，则e2f(－1)＞f(1)． 因此AC正确，B与D错误． [答案]　AC 1．对于不等式f′(x)＋kf(x)＞0，构造函数F(x)＝ekx·f(x)，特别地，当k＝1时，F(x)＝exf(x)． 2．出现f′(x)－kf(x)的形式，构造函数F(x)＝. 2．定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋2f(x)＞0，且f(0)＝1.则不等式f(x)＞的解集为________． 解析：设F(x)＝e2xf(x)，则F′(x)＝e2x[f′(x)＋2f(x)]． ∵e2x＞0，f′(x)＋2f(x)＞0， ∴F′(x)＞0，故F(x)在R上是增函数． 由于f(0)＝1，得F(0)＝f(0)＝1. ∴f(x)＞⇔e2xf(x)＞f(0)． 则F(x)＞F(0)，从而x＞0. 故原不等式的解集为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 三、利用f(x)与sin x，cos x构造可导函数 　(多选题)已知定义在(0，)上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则(　　) A．f()＞f() B．f()＞f() C．f()＞f() D．f()＞f() [解析]　根据题意，令g(x)＝，x∈(0，)，则导数g′(x)＝，又由x∈(0，)，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0，则有g′(x)＜0，即函数g(x)为减函数． 由＜，得g()＞g()，则f()＞f()． 又＜，同理可得f()＞f()． [答案]　CD f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式： F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； F(x)＝，F′(x)＝； F(x)＝f(x)cos x，F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； F(x)＝，F′(x)