(配套教参)第七章 助学培优 立体几何中的动态问题-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

立体几何中的动态问题的主要类型有线面位置关系的判断、轨迹问题、最值与范围问题等．解决动态问题的关键在于要注重动态元素所引发的图形变化过程，动中窥静，静中见动，以静制动． 一、空间位置关系的判定 　(1)如图所示，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝x，BD和AC交于点O，将△BAD沿直线BD翻折，则下列说法中错误的是(　　) A．存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥OC B．存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥BD C．存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥平面ACD D．存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥平面ABD [解析]　当AB＝x＝1时，此时矩形ABCD为正方形，则AC⊥BD， 将△BAD沿直线BD翻折，若使得平面ABD⊥平面BCD时， 由OC⊥BD，OC⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， 可得OC⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，所以AB⊥OC，故A正确； 又OC⊥BD，OA⊥BD，且OA∩OC＝O，OA，OC⊂平面OAC， 所以BD⊥平面OAC，又AC⊂平面OAC，所以AC⊥BD，故B正确； 在矩形ABCD中，AB⊥AD，AC＝， 所以将△BAD沿直线BD翻折时， 总有AB⊥AD， 取x＝，当将△BAD沿直线BD翻折到AC＝时，有AB2＋AC2＝BC2， 即AB⊥AC，且AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD， 则此时满足AB⊥平面ACD，故C正确； 若AC⊥平面ABD，又AO⊂平面ABD，则AC⊥AO， 所以在△AOC中，OC为斜边，这与OC＝OA相矛盾，故D不正确． [答案]　D (2)(多选题)(2022·烟台质检)如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是(　　) A．平面PB1D⊥平面ACD1 B．A1P∥平面ACD1 C．异面直线A1P与AD1所成的角的范围是(0，] D．三棱锥D1-APC的体积不变 [解析]　对于A，根据正方体的性质，易证DB1⊥平面ACD1，又DB1⊂平面PB1D， 则平面PB1D⊥平面ACD1，故A正确； 对于B，连接A1B，A1C1(图略)，易证明平面BA1C1∥平面ACD1，又A1P⊂平面BA1C1， 所以A1P∥平面ACD1，故B正确； 对于C，当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成的角取最小值，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成的角取最大值，故A1P与AD1所成的角的范围是[，]，故C错误； 对于D，VD1-APC＝VC-AD1P，因为点C到平面AD1P的距离不变，且△AD1P的面积不变，所以三棱锥D1-APC的体积不变，故D正确． [答案]　ABD 空间位置关系的动点问题的解法 (1)应用线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理进行转化； (2)利用向量法或建立空间直角坐标系进行计算． 1．(多选题)如图所示，在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1(包含边界)内的动点，且A1F∥平面D1AE，下列说法正确的是(　　) A．A1F与BE是异面直线 B．A1F不可能与D1E平行 C．DF不可能与平面AD1E垂直 D．三棱锥F-ABD1的体积为定值 解析：ACD　如图，取BB1，B1C1的中点N，M，连接A1M，A1N，MN，BC1，DF，则A1N∥D1E，MN∥BC1∥AD1，又A1N⊂平面A1MN，MN⊂平面A1MN，A1N∩MN＝N，D1E⊂平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，D1E∩AD1＝D1，所以平面A1MN∥平面D1AE，又A1F∥平面D1AE，A1F⊂平面A1MN，所以点F的轨迹是线段MN.对于A：因为MN∥BC1，所以点F一定不在BC1上，所以A1F与BE是异面直线，故A正确；对于B：当点F与点N重合时，A1F∥D1E，故B不正确；对于C：因为点F的轨迹是线段MN，又正方体中DB1⊥平面AD1E，若DF⊥平面AD1E，则DB1∥DF，这显然不可能，所以DF不可能与平面AD1E垂直，故C正确；对于D：因为MN∥AD1，AD1⊂平面ABD1，MN⊄平面ABD1，所以MN∥平面ABD1，所以点F到平面ABD1的距离是定值，所以三棱锥F-ABD1的体积为定值，故D正确．故选ACD． 二、轨迹问题 　如图，AB是与平面α交于点A的斜线段，点C满足|BC|＝λ|AC|(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C的轨迹是抛物线；②当λ＝1时，点C的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________．(填序号) [解析]　在△ABC中，|BC|＝λ|AC|，当λ＝1时，|BC|＝|AC|，过AB的中点作线段AB的