(配套教参)第七章 第5节 空间向量及运算-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

第5节　空间向量及运算 课程标准解读 1．了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面的位置关系． [知识梳理] 1．空间向量及其有关定理 概念 语言描述 共线向量(平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一实数λ，使a＝λb 共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量 基本定理 及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 2.空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b， (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥b⇔a·b＝0； (3)设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝. 3．空间向量运算的坐标表示 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 4.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． (3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． 5．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝km(k∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝km(k∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 常用结论 1．在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.(　　) (2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．(　　) (3)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改编)若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是(　　) A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 解析：C　因为λa＋μb(λ，μ∈R)与a，b共面，所以A、B、D都不正确． 3．(教材改编)设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝(　　) A．10　 B．－10　 C．2　 D．－2 解析：A　因为l1⊥l2，所以a⊥b，则a·b＝－6－4＋m＝0，得m＝10. 4．(易错自纠)如图，平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为________． 解析：＝＋＝－－＝－－(＋)＝－－－＝－a－b－c. 答案：－a－b－c 5．(易错自纠)已知在平行六面体ABCD - A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′等于________． 解析：＝＋＋，||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝16＋9＋25＋2×4×5·cos 60°＋2×3×5·cos 60°＝