(配套教参)第七章 第4节 空间直线、平面的垂直-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

第4节　空间直线、平面的垂直 课程标准解读 1．从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题． [知识梳理] 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 3.直线与平面所成的角、二面角 (1)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角． ②线面角θ的范围：θ∈. (2)二面角 ①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面． 如图的二面角，可记作：二面角α-l-β或二面角P-AB-Q. ②二面角的平面角 如图，过二面角α-l-β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α-l-β的平面角． ③当θ＝时，二面角叫做直二面角． 常用结论 1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．垂直于同一条直线的两个平面平行． 3．三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 4．三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线，如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(　　) (2)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　) (3)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.(　　) (4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　) (5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．(易错自纠)直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　) A．平行　　　　　　 B．相交 C．异面 D．垂直 解析：A　因为l⊥α，所以l垂直于平面α内的每一条直线，又m⊂α，所以l⊥m，所以直线l与m不可能平行． 3．(多选题)(教材改编)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的是(　　) A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线 C．平面α内的任一条直线必垂直于平面β D．在平面α内任意作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β 解析：BD　A项，如图①，a⊂α，b⊂β，且a，b与l都不垂直，则a，b不一定垂直，故A错．B项，如图②，a⊂α，作b⊥l，则b⊥α，则β内所有与b平行的直线都与a垂直，故B对． C项，如图③，a⊂α，但a与l不垂直，则a与β不垂直，故C错． D项，如图④由两平面垂直的性质定理可知D正确，故选BD． 4.(易错自纠)已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，如图，则一定互相垂直的平面有__________对． 解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对． 答案：7 5．(教材改编)在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O. 若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 解析：如图，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G. 因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，所以PC⊥平面PAB， 又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB， 因为AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC， 所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC， 所以AB⊥