(配套教参)第六章 第1节 数列的概念-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

第1节　数列的概念 课程标准解读 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法. 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 3.能够利用an与Sn的关系求通项公式an. 4.掌握利用递推关系构造等差或等比数列求通项公式an. [知识梳理] 1．数列的有关概念 (1)数列的定义 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列与函数 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 　数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 2．数列的表示法 解析式法、表格法、图象法． 3．数列的单调性 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．特别地，各项都相等的数列叫做常数列． 4．数列的通项公式和递推公式 (1)如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 　(1)并不是所有的数列都有通项公式； (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一． 5．数列的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 常用结论 1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2)， 若an最小，则(n≥2)． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．(　　) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析：D　a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝. 3．(教材改编)数列，，，，，…的通项公式为an＝________． 解析：a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝，…通过观察可知an＝，n∈N*. 答案：，n∈N* 4．(易错自纠)若an＝n2－5n＋3，则当n＝________时，an取得最小值． 解析：an＝(n－)2－，又n∈N*，∴n＝2或3时an取得最小值． 答案：2或3 5．(易错自纠)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2n＋1－1，则数列{an}的通项公式为________． 解析：因为Sn＝2n＋1－1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n，当n＝1时，a1＝S1＝3不满足上式， 故an＝ 答案：an＝ 考点一　由Sn与an的关系求an(综合性) 　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________． [解析]　由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.因此an＝ [答案]　 (2)已知数列{an}满足1＋a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________． [解析]　对于1＋a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2(n∈N*)， 当n≥2时，可得1＋a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)·an－1＝(n－2)·2n＋2， 两式相减得nan＝(n－1)·2n＋1－(n－2)·2n＝n·2n，即an＝2n(n≥2)． 当n＝1时，可得1＋a1＝2，a1＝1，不满足上式， 所以数列 {an}的通项公式为an＝ [答案]　an＝ (3)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则an＝________． [解析]　由an＋1＝3Sn得Sn＋1－Sn＝3Sn， ∴Sn＋1＝4Sn，又S1＝a1＝1≠0， ∴{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，∴Sn＝4n－1. ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1－4n－2＝3×4n－2， 又n＝1时，不适合上式，∴an＝ [答案]　 [母题探究]　将本例(1)中“Sn”变为Sn＝n2＋2n(n∈N*)，则an＝________． 解析：当n＝1时，a1＝S1＝3，