(配套教参)第二章 数学建模1 函数模型及其应用-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

数学建模1　函数模型及其应用

课程标准解读

了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．

[知识梳理]

1．指数、对数、幂函数模型性质比较

2.几种常见的函数模型

　实际问题中函数要有意义，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．

常用结论

1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，增长速度缓慢．

2．“对勾”函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，＋∞)上的性质：在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，当x＝时f(x)取最小值2.

[诊断自测]

1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　)

(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　)

(3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.(　　)

(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞0)的增长速度．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．(教材改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：

则对x，y最适合的拟合函数是(　　)

A．y＝2x　　　　　　 B．y＝x2－1

C．y＝2x－2  D．y＝log2x

解析：D　当x＝0.99时，y＝0.01，可排除A，当x＝2.01时，y＝0.98，可排除B、C，故选D．

3．(多选题)(教材改编)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年1月至2022年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了折线图．

根据该折线图，下列结论正确的是(　　)

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

解析：BCD　由题图可知，2020年8月到9月的月接待游客量在减少，则A错误．其余全部正确．

4．(易错自纠)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，当销售额x为8万元时，奖励1万元．当销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．

解析：依题意解得

∴y＝2log4x－2，令2log4x－2＝8，得x＝45＝1024.

答案：1024

5．(经典高考题)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　)

A．60  B．63

C．66  D．69

解析：C　∵ I(t)＝，

∴I(t*)＝＝0.95K，则e0.23(t－53)＝19，

∴0.23(t*－53)＝ln 19≈3，解得t*≈＋53≈66.

考点一　用函数图象刻画变化过程(基础性)

1．某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，