(配套教参)第二章 函数与基本初等函数 助学培优-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

函数的周期性、对称性及奇偶性是函数的重要性质，同时它们之间互相作用，密不可分．综合研究它们的相互关系，并由此而得出的性质和结论，对于解决函数中的问题大有益处． 一、函数奇偶性与对称性的应用 　若f(x)是定义在R上的周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝(　　) A．－1　　　　　　　　 B．1 C．－2 D．2 [解析]　由题意可得f(x＋5)＝f(x)，f(x)＝－f(－x)， 所以f(x＋5)＝－f(－x)， 即f(x＋5)＋f(－x)＝0， 所以f(x)的图象关于点(，0)对称， 所以f(3)＋f(2)＝f(4)＋f(1)＝0， 所以f(3)－f(4)＝f(1)－f(2)＝1－2＝－1. [答案]　A 本题求解的关键在于综合考虑函数f(x)既是周期函数又是奇函数，得出函数图象关于点(，0)中心对称． 1．(多选题)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上单调递减，下面关于f(x)的判断正确的是(　　) A．f(0)是函数的最小值 B．f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．f(x)在[2，4]上单调递增 D．f(x)的图象关于直线x＝2对称 解析：ABD　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数， 又f(x)在[－2，0]上单调递减，在R上是偶函数， ∴在[0，2]上单调递增， ∴f(0)是函数的最小值，则A项正确． B项，由f(x＋2)＋f(－x)＝0， ∴f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，B正确． 又在[0 ，2]上单调递增，f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)在[2，4]上单调递减，C项错误． D项，∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)， 故函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，D正确． 二、函数周期性与图象对称性的应用 　(2023·广东广州八校联考)定义在R上的函数f(x)满足y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，当x≥0时，f(x)＝f(x＋2)，且当x∈(0，1)时，f(x)＝4x＋1，则f(2024)＋f(log4)＝(　　) A．－1　　 B．－3　　 C．1　　 D．3 [解析]　因为将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位长度可得到函数f(x)的图象，且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，即函数f(x)是R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝f(x＋2)，所以f(2024)＝f(0)＝0. 当x∈(0，1)时，f(x)＝4x＋1， 所以f(log4)＝f(log222－5)＝f(－) ＝－f()＝－f()＝－3. 所以f(2024)＋f(log4)＝－3. [答案]　B 1．y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，等价于y＝f(x)是奇函数． 2．当x≥0时，函数f(x)的周期为2.借助函数的奇偶性与周期性求f(2024)和f(log4)，从而解题． 2．(多选题)(2023·武汉重点中学质检)若函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，则下列选项一定正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1，0)对称 B．2是函数f(x)的一个周期 C．f(2025)＝0 D．f(2022)＝0 解析：AC　因为函数f(2x＋1)(x∈R)是奇函数． 所以f(2x＋1)＝－f(－2x＋1)，则f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0， 因此函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且f(1)＝0，A正确． 因为函数f(2x＋1)(x∈R)的周期为2，所以f(x)的周期为4，故B不正确． 因为函数f(x)的周期为4，所以f(2025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝0，故C正确． f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)，无法判断f(2)的值，故D不一定正确． 三、函数性质的综合应用 　(2023·潍坊调研)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)－f(2)，若y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，且对任意的x1，x2∈[0，2](x1≠x2)，都有＜0，则下列结论正确的是(　　) A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ [解析]　因为y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称，即y＝f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)． 又f(x＋4)＝f(x)－f(2)， 令x＝－2得f(2)＝f(－2)－f(2)＝0，则f(2)＝f(－2)＝0. 所以f(x＋4)＝f(x)，所以4是函数f(x)的周期． 对任意的x1，x2∈[0，2](x1≠x2)，都有＜0