(配套教参)第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 课程标准解读 1．理解函数奇偶性的含义. 2.了解函数的最小正周期的含义. 3.会利用函数的奇偶性、对称性、周期性解决函数性质的简单问题． [知识梳理] 1．函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象 关于y轴对称 关于原点对称 　函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． 2．函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．函数图象的对称性 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． 常用结论 1．函数周期性的3个结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)． 2．若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数．(　　) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) (4)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(多选题)(教材改编)下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝x2sin x　　　　　 B．y＝x2cos x C．y＝ln |x| D．y＝2－x 解析：BC　根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数． 3．(教材改编)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________． 解析：因为f(x)为R上的奇函数， 所以f(0)＝0， 即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1， 故当x≥0时，f(x)＝2x－1， 则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7. 答案：－7 4．(易错自纠)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　) A．(－1，4) B．(－2，1) C．(－1，2) D．(－1，0) 解析：A　∵f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，∴f(5)＝f(－1)＝f(1)， 因此＜1，解之得－1＜a＜4. 5．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析：B　f(x)＝＝－1＋的图象关于(－1，－1)对称．把f(x)的图象向右平移一个单位，再沿y轴向上平移一个单位得函数y＝f(x－1)＋1的图象，其图象关于(0，0)对称． 所以函数f(x－1)＋1是奇函数． 考点一　函数的奇偶性及应用(基础性) 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 解：(1)由得x2＝3， 解得x＝±， 即函数f(x)的定义域为{－，}， 从而f(x)＝ ＋ ＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称． ∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． (3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x＜0时，－x＞0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0， 则f(－x)＝(－x)2－x