(配套教参)第二章 第2节 函数的单调性与最大(小)值-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

第2节　函数的单调性与最大(小)值 课程标准解读 1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． [知识梳理] 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增．当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减．当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是减函数 图象 描述 从左向右，图象上升 从左向右，图象下降 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 　(1)有多个单调区间应分开写，不能用“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．(2)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 2．函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M． 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 类比函数y＝f(x)的最大值定义，只需把条件(1)变为∀x∈D，都有f(x)≥M，则称M是函数y＝f(x)的最小值． 常用结论 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则 (1)＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在I上单调递增． (2)＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在I上单调递减． 2．函数y＝f(x)(f(x)＞0 或f(x)＜0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 3．复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若f(1)＜f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数的单调递增区间是[1，＋∞). (　　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) (4)闭区间上的单调函数的最值一定在区间端点取到．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则关于函数y＝的单调性，下列表述正确的是(　　) A．在[－1，1]上单调递减 B．在(0，1]上单调递减，在[1，3)上单调递增 C．在[5，7]上单调递减 D．在[3，5]上单调递增 解析：B　由图象可知当x＝0，x＝3，x＝6时，f(x)＝0，此时函数y＝无意义，故排除A，C，D． 3．(教材改编)函数f(x)＝在[2，6]上的最大值是________，最小值是________． 解析：∵f(x)＝＝2＋在[2，6]上单调递减． ∴f(x)min＝f(6)＝，f(x)max＝f(2)＝4. 答案：4　 4．(易错自纠)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是________． 解析：由条件知 解得－1≤a＜1. 答案：[－1，1) 5．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x　　　 B．f(x)＝()x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 解析：D　函数f(x)＝－x与f(x)＝()x 是减函数． f(x)＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不单调．f(x)＝是增函数． 考点一　确定函数的单调性(区间) (基础性) 1．(多选题)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增是(　　) A．y＝－sin x　　　　　 B．y＝x2－2x＋3 C．y＝ln(x＋1) D．y＝－ 解析：CD　y＝－sin x和y＝x2－2x＋3在(0，＋∞)上不具备单调性；y＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增． ∵t＝在(0，＋∞)上单调递减，且＞0. ∴y＝－在(0，＋∞)上单调递增． 2．已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1)，若f(0)＜0，则此函数的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞) C．[－1，1) D．(－3，－1] 解析：C　令g(x)＝－x2－2x＋3， 由题意知g(x)＞0，可得－3＜x＜1， 故函数的定义域为{x|－3＜x＜1}． 根据