(配套教参)第八章 平面解析几何 热点突破课-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

热点突破课　圆锥曲线的综合问题 第1课时　圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中的范围与最值问题，体现了圆锥曲线与三角函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的联系．解此类问题与解代数中的最值问题方法类似．由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关，所以利用曲线性质求解是其特有的方法． [真题案例] 　(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3. (1)求C的方程； (2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． [思维导引]　 理解 题意 条件：①MD⊥x轴．|MF|＝3； ②MN，AB的倾斜角为α，β； ③α－β取最大值． 思路 探究 (1)根据MD⊥x轴及抛物线定义得|MF|＝p＋. (2)首先探究MN⊥x轴时，有α＝β＝. 其次，当MN斜率存在时，分别求MN、AM、BN、AB的方程．进而表示tan α、tan β，从而得到tan(α－β)取最值时的条件，得AB的方程. [解]　(1)当MD⊥x轴时，有|MF|＝＋p＝3，得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)如图，根据(1)知F(1，0)，D(2，0)． 当MN⊥x轴时，易得α＝β＝，此时α－β＝0. 当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)， 则直线MN的方程为y－y1＝(x－x1)， 即y－y1＝(x－x1)＝(x－x1)， 即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1)， 所以直线MN的方程为y(y1＋y2)－y1y2＝4x. 同理可得，直线AM的方程为y(y3＋y1)－y3y1＝4x，直线BN的方程为y(y4＋y2)－y4y2＝4x，直线AB的方程为y(y4＋y3)－y4y3＝4x. 因为F(1，0)在MN上，所以y1y2＝－4. 因为D(2，0)在AM，BN上，所以y3y1＝－8，y4y2＝－8， 所以y3＝－，y4＝－. 所以y3＋y4＝－－＝－＝－＝2(y1＋y2)，y3y4＝＝＝－16， 所以直线AB的方程y(y4＋y3)－y4y3＝4x可化为(y1＋y2)y＋8＝2x， 所以tan α＝，tan β＝， 所以tan(α－β)＝＝＝2×. 当y2＋y1＜0时，tan(α－β)＜0，所以不符合题意． 当y2＋y1＞0时，(y2＋y1)＋≥4， tan(α－β)≤2×＝， 当且仅当y2＋y1＝，即y2＋y1＝2时取等号， 易错点：取最值的条件，而取y1＋y2＝－2. 此时α－β取得最大值，直线AB的方程为 x－y－4＝0. 常见解法有两种：几何法与代数法． (1)若题目中的条件或结论能明显体现某种几何特征及意义，或反映出了某种圆锥曲线的定义，则直接利用图形的性质或圆锥曲线的定义来求解，这就是几何法． (2)将圆锥曲线中的最值问题通过建立目标函数，转化为函数的最值问题，再充分利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去求解，这就是代数法． 热点突破一　几何法求最值(范围) 　(1)已知抛物线C: x2＝4y的焦点为F，平行于y轴的直线l与圆Γ：x2＋(y－1)2＝1交于A，B两点(点A在点B的上方)，l与C交于点D，则△ADF的周长的取值范围是________． [解析]　抛物线C的焦点F的坐标为(0，1)，设准线为l′，l与l′交于点M，如图所示． 由抛物线的定义得|DF|＝|DM|，由题意得圆Γ的圆心为点F，半径长为1，则△ADF的周长L＝|AD|＋|DF|＋|AF|＝|AD|＋|DM|＋1＝|AM|＋1，当直线l与圆Γ相切时，点A、B重合，此时A(1，1)，|AM|＝2；当直线l过点F时，点A、D、F三点共线，则|AM|＝|FM|＋|AF|＝2＋1＝3.由于A、D、F不能共线，且A、B不重合，则2＜|AM|＜3，所以3＜|AM|＋1＜4，即3＜L＜4，因此，△ADF的周长的取值范围是(3，4)． [答案]　(3，4) (2)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　) A．[，]　　　　　 B．[，] C．[，1] D．[，1] [解析]　椭圆的左顶点为A1(－2，0)、右顶点为A2(2，0)， 设点P(x0，y0)(x0≠±2)，则＋＝1，得＝－. 又kPA2＝，kPA1＝， 所以kPA2·kPA1＝＝－. 又因为kPA2∈[－2，－1]， 所以kPA1∈[，]． [答案]　B 几何方法求解圆锥曲线中的最值问题，即通过圆锥曲线的定义、几何性质将最值转化，利用平面几何中的定理、性质，结