(配套教参)第八章 第7节 抛物线-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

第7节　抛物线 课程标准解读 1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质. 2.了解抛物线的简单应用.3.通过抛物线的学习，进一步体会数形结合的思想. [知识梳理] 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py (p＞0) 开口方向 向右 向左 向上 向下 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P (x0，y0) 在抛物线上) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 常用结论 1．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－. 2．过抛物线y2＝2px(p＞0)的顶点O(0，0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A，B．则直线AB过定点M(2p，0)；反之，若过点M(2p，0)的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于两点A，B，则必有OA⊥OB． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　) (3)过抛物线的焦点垂直于对称轴的弦，是抛物线过焦点最短的弦．(　　) (4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D．0 答案：B 3．(教材改编)抛物线y＝x2的准线方程是(　　) A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 答案：A 4．(易错自纠)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________． 答案：y2＝－x或x2＝y 5．(易错自纠)点A是焦点为F的抛物线y2＝2px上的一点，若|AF|＝4，AF的中点为M，则M点到y轴的距离为________． 解析：以AF为直径的圆与y轴相切，半径为2. 答案：2 考点一　抛物线的定义及其应用(基础性) 1．动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 答案：y2＝4x 2．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为__________． 解析：如图所示，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1， 则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4， 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 答案：4 3．已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________． 解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|， 则∠NMH＝45°.在Rt△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|. 而|FK|＝1.所以|MF|＝. 答案： 利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线． (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化． 考点二　抛物线的标准方程及其性质(应用性) [角度1]　求抛物线标准方程 　(1)点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝y B．x2＝y或x2＝－y C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y [解析]　将y＝ax2化为x2＝y. 当a＞0时，准线y＝－，则3＋＝6， ∴a＝. 当a＜0时，准线y＝－，则＝6， ∴a＝－. 所以抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y. [答案]　D (2)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径