(配套教参)第八章 第5节 第2课时 直线与椭圆的位置关系-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

第2课时　直线与椭圆的位置关系 考点一　直线与椭圆的位置关系(基础性) 1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．m＞1　　　　　　 B．m＞0 C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5 解析：D　由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 则0＜≤1且m≠5， 故m≥1且m≠5. 2．过圆x2＋y2＝r2上一定点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2，此结论可推广到圆锥曲线上．过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y－3＝0 C．2x＋3y－3＝0 D．3x－y－10＝0 解析：A　过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)的切线l的方程为＋＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1，与直线l垂直的直线的斜率为－1，过A点且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0，故选A． 研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数． (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． 考点二　弦长及中点弦问题(综合性) [角度1]　弦长问题 　(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________． [解析]　由＝，知a＝2c(如图)， 即|AF2|＝2|OF2|，∴∠AF2O＝60°， 即△AF1F2为正三角形，DE⊥AF2且过F1点，∴DE为AF2的垂直平分线， ∴|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|， △ADE的周长为|AD|＋|DF1|＋|F1E|＋|AE| ＝|DF2|＋|DF1|＋|EF1|＋|EF2|＝4a. DE的方程为y＝(x＋c)，代入椭圆C的方程＋＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴|DE|＝ ＝＝＝6， ∴c＝，∴a＝2c＝， ∴△ADE的周长为4×＝13. [答案]　13 弦长公式的运用技巧 弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小．若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为my＝x－a可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”． [角度2]　中点弦问题 　[一题多解]已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________． [解析]　解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由消去y得， (2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0， ∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2， ∴＝2，解得k＝－. 经检验，k＝－满足题意． 故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. 解法二：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，　① ＋＝1，　② ①－②得＋＝0， ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－. 经检验，k＝－满足题意． ∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. [答案]　x＋2y－3＝0 解决中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率； (2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 1．已知椭圆E：＋＝1的左、右两焦点F1，F2，直线l的倾斜角为且过F1交E于A，B两点，则△ABF2的面积为________． 解析：由椭圆E的方程为＋＝1， 得c＝1，即F1(－1，0)，F2(1，0)， 所以直线l的方程为y＝(x＋1)， 由消去y，得5x2＋8x＝0， 解得x1＝0，x2＝－， 所以y1＝，y2＝－. 所以S△ABF＝c·|y1－y2|＝1×＝. 答案： 2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是______