(配套教参)第一章 助学培优 三个“二次”之间的转化与应用-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

三个“二次”是指一元二次方程、一元二次不等式和二次函数，这三个“二次”都是中学数学的重要内容，它们之间相互联系，相互渗透，其中二次函数最重要，其图象是三个“二次”之间的纽带，它将等与不等、数与形紧密结合在一起，它既包含了一元二次方程的根，又包括了一元二次不等式的解集．利用数形结合思想可以使一些数学问题得到很好的解决． 一、二次函数与二次不等式的转化 　[一题多解]设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围； (2)若对于x∈[1，3]，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围． [解]　(1)依题意知，mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0恒成立； 若m≠0，则∴－4<m<0. ∴实数m的取值范围是－4<m≤0. (2)解法一：当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立． 当m≠0时，该函数图象的对称轴是直线x＝， ∴f(x)＝mx2－mx－1在x∈[1，3]上是单调函数， 当m>0时，f(x)在[1，3]上单调递增，要使f(x)<0在x∈[1，3]上恒成立，只要f(3)<0， 则9m－3m－1<0，得m<，即0<m<. 当m<0时，f(x)在[1，3]上单调递减，要使f(x)<0在x∈[1，3]上恒成立，只要f(1)<0. 此时f(1)＝－1<0，显然成立． 综上所述，m<. 解法二：f(x)＝m(x2－x)－1，x∈[1，3]． ①当x＝1时，f(1)＝－1<0恒成立，则m∈R. ②当x≠1时，即x∈(1，3]时，x2－x>0. ∴要使f(x)<0恒成立，只需m<恒成立．设t＝x2－x， 又t＝x2－x＝(x－)2－在(1，3]上单调递增． ∴0<t≤6，则≥，∴m<. 综合①②知，实数m的取值范围为m<. 在二次不等式恒成立问题中，若原问题中限制自变量x在某个指定范围内取值，则常转化为求函数的最值问题．这样解决问题比较方便． 1．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________． 解析：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋)2＋b－. ∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0， ∴f(x)＝(x＋)2. 又∵f(x)<c，∴(x＋)2<c， 解之得－－<x<－＋， ∴ 由②－①，得2 ＝6，∴c＝9. 答案：9 二、二次不等式与二次方程转化 　(多选题)(2022·湖南长郡中学月考)已知不等式x2＋ax＋b>0(a>0)的解集是{x|x≠d}，则下列四个结论中正确的是(　　) A．a2＝4b B．a2＋≥4 C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0 D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4 [解析]　由题意，知Δ＝a2－4b＝0， 所以a2＝4b，所以A正确； 对于B，a2＋＝a2＋≥2 ＝4，当且仅当a2＝，即a＝时等号成立， 所以B正确； 对于C，由根与系数的关系， 知x1x2＝－b＝－<0，所以C错误； 对于D，由根与系数的关系，知x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c＝－c， 则|x1－x2|＝＝＝2＝4， 解得c＝4，所以D正确． [答案]　ABD 1．一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． 2．解这类问题要理解一元二次不等式的解集和一元二次方程的根的关系，关键是能够根据不等式的解集得到方程的根，进而求得结果． 2．(2023·江南名校联考)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－，3)，则x2＋x＋<0成立的一个必要不充分条件是(　　) A．－<x<3　　　 B．－<x<0 C．－3<x< D．－1<x<6 解析：D　∵不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－，3)． ∴－与3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0. ∴－＋3＝－，－×3＝， ∴b＝－a，c＝－a. 原不等式可化为x2－x－<0，解得－<x<3. 由于(－，3)(－1，6)， ∴x2＋x＋<0成立的一个必要不充分条件是－1<x<6. 三、二次函数与二次方程的转化 　函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1. (1)若f(x)有两个零点，其中一个零点在区间(－1，0)内，另一个零点在(1，2)内，则实数m的取值范围是____________． (2)若f(x)有两个零点且均小于1，则实数m的取值范围是______________． [解析]　(1)依题意，画出示意图 得 解得－<m<－. (2)依题意得 解得－<m≤1－或m≥1＋. [答案]　(1)(－，－)　(2)(－，1－]∪[1＋，＋∞) 研究二次方程根的分布一般要考虑：①图象的开口方向，②方程根的判别式，