(配套教参)第一章 第5节 二次函数与一元二次方程、不等式-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

第5节　二次函数与一元二次方程、不等式 课程标准解读 1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义. 2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系. 3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式． [知识梳理] 1．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实数根x1，x2(x1<x2) 有两相等实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x>x2或x<x1} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 常用结论 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 2．简单分式不等式 (1)≥0⇔ (2)>0⇔f(x)g(x)>0. [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) (3)不等式x2≤a的解集为[－，]．(　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为R.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改编)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－<x<}，则a－b的值是(　　) A．－10　　 B．－14　　 C．10　　 D．14 解析：A　由题意知，－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根， 所以解得 故a－b＝－10. 3．(易错自纠)不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是(　　) A．{x|≤x≤2}　 B．{x|x≥2或x≤} C．{x|≤x≤2} D．{x|－≤x≤2} 解析：A　原不等式等价于 (x－)(x－2)≤0, 解得≤x≤2，故选A. 4．(易错自纠)不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：当m＝0时，1>0，不等式恒成立， 当m≠0时， 得0<m<4. 综上，0≤m<4. 答案：[0，4) 5．不等式<1的解集为________． 解析：<1，即<0，解得－7<x<2，因此不等式的解集为(－7，2)． 答案：(－7，2) 考点一　一元二次不等式的求解 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集为________． 解析：－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0， ∴x<－1或x>. 答案：{x|x<－1或x>} 2．解不等式≤2. 解：原不等式可化为≥0， 即或解得x>或x≤1. 故所求不等式的解集为{x|x>或x≤1}． 3．已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋1. (1)当a＝－2时，解关于x的不等式f(x)<0； (2)当a>0时，解关于x的不等式f(x)>0. 解：(1)当a＝－2时，f(x)＝－2x2＋x＋1<0， 即2x2－x－1>0，解得x<－或x>1， ∴不等式的解集为{x|x<－或x>1}． (2)当a>0时，由f(x)>0，得ax2－(a＋1)x＋1>0，即(ax－1)(x－1)>0， ①当＝1，即a＝1时，解得x≠1； ②当>1，即0<a<1时，解得x<1或x>； ③当<1，即a>1时，解得x<或x>1. 综上所述，当a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}； 当0<a<1时，不等式的解集为{x|x<1或x>}； 当a>1时，不等式的解集为{x|x<或x>1}． 1．不含参数的一元二次不等式按照：变标准形、算判别式、求方程的根、写解集4个步骤求解． 2．解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． (3)当确定方程无根时，可直接写出解集；当确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． 考点二　一元二次不等式恒成立问题 [角度1]　在实数R上恒成立 　若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立