(配套教参)第一章 第2节 常用逻辑用语-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

第2节　常用逻辑用语 课程标准解读 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的含义. 2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系. 3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定． [知识梳理] 1．充分条件与必要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 　充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． ①若p是q的充分条件，则A⊆B； ②若p是q的充分不必要条件，则AB； ③若p是q的必要不充分条件，则BA； ④若p是q的充要条件，则A＝B. 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 意义 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 常用结论 1．A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件． 2．命题p与p的否定的真假性相反． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题．(　　) (2)存在x∈R，x2－x＋1≤0.(　　) (3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　　) (4)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　　) 答案：(1)×　(2)× 　(3)√　(4)√ 2．(教材改编)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＋2x＋1>0 B．对任意实数a，b，若a－b<0，则a<b C．若2x为偶数，则x∈N D．π是无理数 解析：B　对于A，∀x∈R，x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，故A错误；对于B，含有全称量词“任意”，是全称量词命题且是真命题，故B正确；对于C，当x＝－1时，2x＝－2，为偶数，但－1∉N，故C错误；对于D，π是无理数不是全称量词命题，故D错误．故选B. 3．(教材改编)“等边三角形都是等腰三角形”的否定是________． 答案：存在一个等边三角形，它不是等腰三角形 4．(易错自纠)“x>y>0”是“x2>y2”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　因为“x>y>0”⇒“x2>y2”，但“x2>y2”不能推出“x>y>0”，所以“x>y>0”是“x2>y2”的充分不必要条件． 5．(2022·浙江卷)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　由sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，则cos(2kπ＋)＝cos ＝0，故充分性成立；又由cos x＝0，得x＝kπ＋(k∈Z)，而sin(kπ＋)＝1或－1，故必要性不成立．所以“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件，故选A. 考点一　充分、必要条件的判定 1．已知m，n是平面α内的两条相交直线，且直线l⊥n，则“l⊥m”是“l⊥α”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　当l⊥m时，m，n是平面α内的两条相交直线，又l⊥n，根据线面垂直的判定定理，可得l⊥α，当l⊥α时，因为m⊂α，所以l⊥m.综上，“l⊥m”是“l⊥α”的充要条件． 2．设p：实数x满足x2－(a＋1)x＋a≤0(0<a<5)，q：实数x满足ln x<2.则q是p的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　设A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，B＝{x|ln x<2}＝{x|0<x<e2}． 当0<a<1时，A＝[a，1]； 当a＝1时，A＝{1}； 当1<a<5，A＝[1，a]． ∵0<a<5，∴AB，∴q是p的必要不充分条件． 3．(多选题)(2023·泰安市质检)下列选项中，p是q的充分不必要条件的是(　　) A．p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数 B．p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象不过第二象限