(配套教参)第五章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

第2节　平面向量基本定理及坐标表示 课程标准解读 1．了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． [知识梳理] 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量的加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝_． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝ _． 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 常用结论 1．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为(，)． 2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为(，)． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．(　　) (2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(多选题)(教材改编)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，3)，e2＝(，－) 解析：BD　由于选项A和选项C中，都有e1∥e2，都不能作为基底，故选BD． 3．(教材改编)已知向量a＝(－1，3)，b＝(2，1)，则3a－2b＝(　　) A．(－7，7) B．(－3，－2) C．(6，2) D．(4，－3) 解析：A　3a－2b＝(－3，9)－(4，2)＝(－7，7)． 4．(易错自纠)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，下列结论正确的是(　　) A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y) B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，y1≠y2 C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y) 解析：A　由平面向量基本定理，知A正确；例如a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故D错误． 5．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________． 解析：由题意知，5λ＝2×4，得λ＝. 答案： 考点一　平面向量的坐标运算(基础性) 1．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：D　以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)， 则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)， ∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)， 即解得 ∴＝＝4. 2．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)． (1)3a＋b－3c＝3×(5，－5)＋(－6，－3)－3×(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)解法一：∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 解法二：∵a＋b＋c＝0， ∴a＝－b－c， 又∵a＝mb＋nc， ∴mb＋nc＝－b－c， ∴ (3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，