(配套教参)第四章 助学培优 三角函数中ω值的求法-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

三角函数中ω的求解是近年高考的一个热点内容，涉及内容广泛，思维能力要求高，求解的关键是活用三角函数性质，常见的类型及解法：(1)若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等式(组)求解；(2)若已知函数的对称性，则根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以研究ω的取值；(3)若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围． 一、利用三角函数的单调性求解 　若函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2 ωx＋cos 2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． [解析]　f(x)＝sin 2ωx＋2sin2 ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋1. 因为f(x)在区间上单调递增． 所以 解得ω≤，所以正数ω的最大值是. [答案]　B 1．本题指定区间含有0，所以可以直接利用－3ωπ与－的大小关系及3ωπ与的大小关系建立参数所满足的不等式(组)． 2．若指定区间不含0，则需要先求出函数的单调递增区间，再利用子集关系建立参数所满足的不等式(组)求解． 1．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是________． 解析：令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ(k∈Z)， 得＋≤x≤＋(k∈Z)， 因为f(x)在上单调递减， 所以(k∈Z)， 解得6k＋≤ω≤4k＋3(k∈Z)． 又ω＞0，所以k≥0， 又6k＋≤4k＋3，得k≤. 所以0≤k≤(k∈Z)，则k＝0. 故≤ω≤3. 答案： 二、利用三角函数的最值求“ω” 　已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)，将其图象向右平移个周期得到函数g(x)的图象．若函数g(x)在[0，π]上的值域为，则ω的取值范围为(　　) A． B． C． D． [解析]　f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期T＝. 依题意g(x)＝sin＝sin(ωx－)． ∵0≤x≤π，∴－≤ωx－≤ωπ－. 又g(x)在[0，π]上的值域为， ∴≤ωπ－≤π，解之得≤ω≤. [答案]　B 1．已知含参数ω的函数f(x)在某个区间上的值域求参数ω的方法：“整体代换”法，其步骤与求函数f(x)在某个区间上的值域类似． 2．利用三角函数的最值与单调性和对称性的关系，列出关于ω的不等式，进而求出ω的值(范围)． 2．若函数f(x)＝cos ωx－sin ωx＋1(ω＞0)在(0，)内存在最小值但无最大值，则ω的范围是(　　) A． B． C． D． 解析：A　函数f(x)＝2cos(ωx＋)＋1， 当x∈(0，)时，ωx＋∈(，＋)． 因为f(x)在(0，)内存在最小值但无最大值， 结合图象可得π＜＋≤2π， 解得＜ω≤. 三、利用三角函数的周期性、对称性求“ω” 　(1)(2023·日照一中联考)已知函数f(x)＝Asin (ωx＋)(A＞0，ω＞0)的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是(　　) A． B． C． D．8 [解析]　由题可知，是该函数的周期的整数倍，则＝×k，k∈Z，解得ω＝，k∈Z.又ω＞0，取k＝1，得ω的最小值为. [答案]　B (2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|≤)，x＝－为f(x)的零点，直线x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在(，)上单调，则ω的最大值为(　　) A．11 B．9 C．7 D．5 [解析]　因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴， 所以－(－)＝＋(T为最小正周期，k∈Z)． 所以＝T＝·，k∈Z 则ω＝2k＋1(k∈Z)，T＝. 又f(x)在(，)上单调，所以≥－， 结合T＝(k∈Z)可得，k≤且k∈Z. 当k＝5时，ω＝11，φ＝－，f(x)在(，)上不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝，f(x)在(，)上单调，满足题意，故ω的最大值为9. [答案]　B 1．利用正弦、余弦三角函数的周期性求“ω”的公式ω＝. 2．三角函数的对称轴和对称中心之间的“水平距离”与周期T密切相关，可利用对称性来研究周期，进而求ω的取值范围．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称轴、对称中心与函数的极值点、零点之间相互转化，因此也可转化求ω的值(或取值范围)． 3．为了使函数y＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　) A．98π B．π C．π D．100π 解析：B　由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期， 所以T＝·≤1，所以ω≥π. 因此ω的最小值是π. 4．若函数y＝cos ωx(ω＞0)的图象在区间(－，)上只有一个对称中心，则ω的取值范围为(