(配套教参)第四章 第6节 正弦定理和余弦定理-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

第6节　正弦定理和余弦定理 课程标准解读 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． [知识梳理] 1．正弦定理 (1)定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径． (2)正弦定理的变形 ①a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C． ②a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C． ③asin B＝bsin A，bsin C＝csin_B， asin C＝csin_A． 2．余弦定理 (1)定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos_C． (2)余弦定理的变形 cos A＝，cos B＝， cos C＝． 3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的 个数 一解 两解 一解 一解 无解 　(1)△ABC的内角和A＋B＋C＝π. (2)在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 4．三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin_A． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 常用结论 1．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C； (2)cos(A＋B)＝－cos C； (3)sin ＝cos ； (4)cos ＝sin . 2．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B． 3．△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B．(　　) (2)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) (3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．(　　) (4)在△ABC的六个元素(三个角和三条边)中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若c＜bcos A，则△ABC为(　　) A．钝角三角形　　 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 解析：A　由c＜bcos A，得sin C＜sin Bcos A， ∴sin Bcos A＋cos Bsin A＜sin Bcos A， 则cos Bsin A＜0，∴cos B＜0，故B是钝角． 3．(易错自纠)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 解析：C　由正弦定理得＝， ∴sin B＝＝＝＞1. ∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在． 4．(教材改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________． 解析：由3sin A＝2sin B及正弦定理， 得3a＝2b，所以b＝a＝3. 由余弦定理cos C＝， 得－＝，解得c＝4. 答案：4 5．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝__________． 解析：因为acsin B＝，所以ac＝4. 因为b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8， 所以b＝2(负值舍去)． 答案：2 考点一　利用正、余弦定理解三角形(综合性) 　(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C． (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC． [解]　(1)证明：因为BDsin ∠ABC＝asin C， 所以由正弦定理得，BD·b＝ac， 又b2＝ac，所以BD·b＝b2， 又b＞0，所以BD＝b. (2)因为AD＝2DC，AC＝b， 所以AD＝b，CD＝b. 在△ABD中，由余弦定理得 cos A＝＝ ＝. 在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝. ∴＝，整理得6a2＋3c2－11b2＝0. 又b2＝ac， 所以6a2＋3c2－11ac＝0，解得c＝3a或c＝a. 当c＝a时，cos ∠ABC＝ ＝＝. 当c＝3a时，cos ∠ABC＝＝＝＞1(舍)． 综上，cos ∠ABC＝. 1．正弦定理、余弦定理的作用是在已知三