(配套课件)第二章 函数与基本初等函数 助学培优-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，人教A版）

1 函数的周期性、对称性及奇偶性是函数的重要性质，同时它们之间互相作用，密不可分．综合研究它们的相互关系，并由此而得出的性质和结论，对于解决函数中的问题大有益处． 1 一、函数奇偶性与对称性的应用 　若f(x)是定义在R上的周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝(　　) A．－1　　　　　　　　 B．1 C．－2 D．2 例 1 A 1 1 方法技巧 1 1．(多选题)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上单调递减，下面关于f(x)的判断正确的是(　　 ) A．f(0)是函数的最小值 B．f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．f(x)在[2，4]上单调递增 D．f(x)的图象关于直线x＝2对称 √ 突破训练 ABD 1 解析：ABD　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数， 又f(x)在[－2，0]上单调递减，在R上是偶函数， ∴在[0，2]上单调递增， ∴f(0)是函数的最小值，则A项正确． B项，由f(x＋2)＋f(－x)＝0， ∴f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，B正确． 1 又在[0 ，2]上单调递增，f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)在[2，4]上单调递减，C项错误． D项，∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)， 故函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，D正确． 1 例 2 B 1 1 方法技巧 1 2．(多选题)(2023·武汉重点中学质检)若函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，则下列选项一定正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1，0)对称 B．2是函数f(x)的一个周期 C．f(2025)＝0 D．f(2022)＝0 √ 突破训练 AC 1 解析：AC　因为函数f(2x＋1)(x∈R)是奇函数． 所以f(2x＋1)＝－f(－2x＋1)，则f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0， 因此函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且f(1)＝0，A正确． 因为函数f(2x＋1)(x∈R)的周期为2，所以f(x)的周期为4，故B不正确． 因为函数f(x)的周期为4，所以f(2025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝0，故C正确． f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)，无法判断f(2)的值，故D不一定正确． 1 例 3 C 1 1 所以f(x)在[0，2]上单调递增，作出f(x)的草图如图所示． 1 1．函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 2．本题作出函数图象的草图，借助几何直观性降低思维难度，有利于问题的解决． 方法技巧 1 解析：C　依题意，定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋2)＝f(－x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(0)＝0. 又f(x)在区间[1，2]上单调递减，则f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(1)＞0. √ 突破训练 C 1 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 1 $$ 1 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解． 1 例 1 B 1 1 [解析]　画出函数f(x)的图象，如图所示． 1 [答案]　2 1 1．换元解套：将嵌套函数的零点问题通过换元转化为函数t＝g(x)与y＝f(t)的零点问题． 2．依次求解：令f(t)＝0求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数． 方法技巧 1 √ 突破训练 1 答案：5 1 例 2 1 [答案]　(0，2]∪[3，4] 1 [解析]　设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)． 当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点． 设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1. 当t1＜－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解． 综上可知，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点． [答案]　[－1，＋∞) 1 1．求解此类问题要抓住函数的图象性质，通过两层函数的零点个数及取值范围确定嵌套函数的零点． 2．含参数的嵌套函数方程还应注意让参数的取值“动起来