第六章 数 列- 【高考领航】2024高考数学大一轮复习课时作业word（新教材，北师大版）

重点强化练4　等差与等比数列的综合应用 A级　基础落实练 1．(2022·北京房山区期末)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为(　　) A．16.5尺　　　　　 B．13尺 C．3.5尺 D．2.5尺 解析：D　设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为{an}，则立春当日日影长为a4＝9.5，春分当日日影长为a7＝6，所以立夏当日日影长为a10＝2a7－a4＝2.5.故选D． 2．(2022·重庆名校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＋a6＝a2＋4，则S17＝(　　) A．4　　 B．17　　 C．68　　 D．136 解析：C　由{an}是等差数列，得a5＋a6＝a2＋a9，又a5＋a6＝a2＋4，所以a9＝4，所以S17＝(a1＋a17)＝17a9＝17×4＝68.故选C． 3．(2022·四川攀枝花三模)正项等比数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝，S3＝7，则a5＝(　　) A．8 B．16 C．27 D．81 解析：B　设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)．由a3＝，可得a3＝q2， 所以a2＝q，a1＝1. 所以S3＝a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝7， 解得q＝2(q＝－3舍去)， 所以a5＝a1q4＝1×24＝16.故选B． 4．(2023·西南四省名校联考)设单调递增的等比数列{an}满足a4＋a6＝20，a4a5a6＝512，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　) A． B． C． D． 解析：C　由a4a5a6＝512，即a＝512，得a5＝8，则a4a6＝a＝64， 由解得或(舍去)，所以公比q＝＝2，所以an＝a5qn－5＝2n－2，从而anan＋1＝2n－2·2n－1＝22n－3＝×4n－1，从而a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝.故选C． 5．(多选题)已知数列{an}满足an＋an＋2＝n，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论一定正确的是(　　) A．an＋4－an＝2 B．an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝2n＋1 C．S20＝90 D．Sn＋2＋Sn> 解析：AB　由an＋an＋2＝n可知an＋1＋an＋3＝n＋1，an＋2＋an＋4＝n＋2.对于A，(an＋2＋an＋4)－(an＋2＋an)＝an＋4－an＝n＋2－n＝2，故A正确；对于B，an＋an＋2＋an＋1＋an＋3＝n＋n＋1＝2n＋1，故B正确；对于C，令bn＋1＝a4n＋1＋a4n＋2＋ a4n＋3＋a4n＋4，结合B选项可得bn＋1＝8n＋3，则bn＝a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝8n－5，所以bn＋1－bn＝8n＋3－(8n－5)＝8，又b1＝a1＋a2＋a3＋a4＝3，所以{bn}是以3为首项，8为公差的等差数列，则S20＝b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝3×5＋×8＝95，故C错误；对于D，由an＋an＋2＝n可知， (an＋an＋2)＝Sn＋Sn＋2－(a1＋a2)＝，所以Sn＋Sn＋2＝＋a1＋a2，因为a1＋a2无法确定，故D项无法判定其正确性．综上可知，选AB． 6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________． 解析：设等比数列{an}的公比为q(q＞0)， 由a5＝a1q4＝16，a1＝1， 得16＝q4，解得q＝2， 所以S7＝＝＝127. 答案：127 7．在等差数列{an}中，若a1＜0，Sn为其前n项之和，且S7＝S17，则Sn最小时n的值为________． 解析：解法一：由S7＝S17得2a1＋23d＝0， 即(a1＋11d)＋(a1＋12d)＝0，故a12＋a13＝0. 又由a1＜0，S7＝S17，可知d＞0，所以a12＜0，a13＞0，所以n＝12时，Sn最小． 解法二：由S7＝S17得d＝－a1，从而Sn＝n2＋n＝－(n－12)2＋ a1.因为a1＜0，所以－＞0，所以n＝12时，Sn最小． 答案：12 8．(2022·河北衡水一中一调)设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝an＋1－2n＋1＋1(n∈N*)，且a2＝5，则数列{an}的通项公式为________． 解析：令n＝1，得2a1＝a2－22＋1，所以a1＝1.当n≥2时，由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1得，2Sn－1＝an－2n＋1，两式相减得an＋1＝3an＋2n，当n＝1时，a2＝3a1＋21，满足上式．设an＋1＋r·2n＋1＝3(an＋r·2n)，得r＝1，所以an＋1＋2n＋1＝3(a