(配套教参)第七章 第6节 第2课时 空间距离、折叠及探索性问题-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，北师大版）

第2课时　空间距离、折叠及探索性问题 考点一　利用向量法求距离(应用性) 　(2023·长沙一中月考)如图，四棱锥P ­ABCD中，AB∥CD，AB＝CD＝1，E为PC的中点． (1)证明：BE∥平面PAD； (2)若AB⊥平面PBC，△PBC是边长为2的正三角形，求点E到平面PAD的距离． [解]　(1)证明：如图，取PD的中点F，连接AF，EF， 因为E为PC的中点，F为PD的中点， 所以EF綊CD． 又AB綊CD， 所以EF綊AB，故四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF. 又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD． (2)如图，取BC的中点O，AD的中点M，连接OP，OM，则OM∥AB∥CD． 在等边△PBC中，PO＝，OP⊥BC． 又AB⊥平面PBC，所以OM⊥平面PBC． 以O为坐标原点，分别以射线OC，OM，OP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则P(0，0，)，A(－1，1，0)，D(1，2，0)， C(1，0，0)，故E(，0，)， 所以＝(2，1，0)，＝(－1，1，－)， ＝(，0，－)． 设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则y＝－2，z＝－，故n＝(1，－2，－)为平面PAD的一个法向量． 所以点E到平面PAD的距离d＝ ＝＝. 1．直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离． 2．等体积法． 3．向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝. 1．在棱长为1的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． (1)求点B到直线AC1的距离； (2)求直线FC到平面AEC1的距离． 解：以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E，F，所以＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，＝，＝，＝，＝. (1)取a＝＝(0，1，0)，u＝＝(－1，1，－1)，则a2＝1，a·u＝. 所以点B到直线AC1的距离为＝＝. (2)因为＝＝，所以FC∥EC1，又EC1⊂平面AEC1，FC⊄平面AEC1，所以FC∥平面AEC1.所以点F到平面AEC1的距离为直线FC到平面AEC1的距离．设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则所以所以 取z＝1，则x＝1，y＝2.所以n＝(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量． 又因为＝，所以点F到平面AEC1的距离为＝＝. 即直线FC到平面AEC1的距离为. 考点二　折叠问题(综合性) 　(2022·河北石家庄模拟)如图①，在梯形ABCD中，∠BAD为直角，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，将三角形ABD沿BD折起至PBD，如图②. (1)若平面PBD⊥平面BCD，求证：PB⊥PC； (2)设E是PC的中点，若二面角E­BD­C的平面角为30°，求二面角P­BD­C的平面角的正弦值． 图①　　　　　　　　　图② [解]　(1)证明：由题设知△PBD为等腰直角三角形且PB⊥PD，PB＝PD＝2，则BD＝4.又∠DBC＝45°，BC＝4，在△BCD中由余弦定理得CD＝4，所以BD2＋CD2＝BC2，即BD⊥CD． 证法一：因为平面PBD⊥平面BCD， 平面PBD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面PBD． 又PB⊂平面PBD，则CD⊥PB． 又PD∩CD＝D，所以PB⊥平面PCD． 又PC⊂平面PCD，则PB⊥PC． 证法二：取BD的中点Q，连接CQ(图略)． 在Rt△CDQ中，CQ2＝DQ2＋CD2＝20. 连接PQ，则PQ＝2且PQ⊥BD， 又平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，PQ⊂平面PBD， 所以PQ⊥平面BCD．又CQ⊂平面BCD，则PQ⊥CQ. 在Rt△PQC中，PC2＝PQ2＋CQ2＝24，又BC2＝32，所以在△PBC中，BC2＝PB2＋PC2，即PB⊥PC． (2)设M，N分别是BD，BC的中点，连接PM，MN，则PM⊥BD，MN⊥BD，又PM∩MN＝M，则BD⊥平面PMN，所以∠PMN是二面角P­BD­C的平面角． 在平面PMN上过M作Mz⊥MN. 如图，以M为原点，直线MB为x轴，直线MN为y轴，直线Mz为z轴，建立空间直角坐标系． 则B(2，0，0)，C(－2，4，0)，D(－2，0，0)，设∠PMN＝θ，0°≤θ≤180°，则P(0，2cos θ，2sin θ)，E(－1，cos θ＋2，sin θ)，故＝(－3，cos θ＋2，sin θ)，＝(4，0，0)． 设平面BDE的法向量