(配套教参)第七章 第6节 第1课时 利用空间向量求空间角-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，北师大版）

第6节　向量在立体几何中的应用 课程标准解读 1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.2.能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用． [知识梳理] 1．空间角 (1)两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos_〈u，v〉|＝． (2)直线和平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面内的投影所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.故直线与平面所成的角的范围是[0，]． ②向量求法：直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝． (3)两个平面所成的角 一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α ­l ­β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉相等(如图(1))或互补(如图(2))． 　(1)两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值． (2)直线与平面所成角的范围为，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值． 2．空间距离 (1)点P到直线l的距离 设＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u. 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 PQ＝＝． (2)点P到平面α的距离 若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一点P到平面α的距离d＝＝，如图所示． 常用结论 1．最小角定理 如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的投影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 2．线面距离、面面距离都可以转化为点到面的距离． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)设a，b是异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角就是a，b的夹角．(　　) (2)设a是直线l的方向向量，b是平面α的法向量，则直线l与平面α所成的角就是a，b的夹角．(　　) (3)设a，b是两个平面α，β的法向量，则α与β所成的二面角的大小等于a，b的夹角的大小．(　　) (4)利用||2＝·可以求空间中有向线段的长度．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)已知直线l1的方向向量s1＝(1，0，1)，直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1与l2的夹角的余弦值为________． 解析：由题意可知 l1与l2夹角的余弦值为|cos〈s1，s2〉|＝＝. 答案： 3．(教材改编)设直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，平面α的法向量为n＝(－1，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________． 解析：设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝＝. 答案： 4．(易错自纠)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为________． 解析：设两平面所成的二面角为θ，则|cos θ|＝|cos 〈m，n〉|＝，故θ＝45°或135°. 答案：45°或135° 5．(易错自纠)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，F为AB的中点，则CF到平面AEC1的距离为________． 解析：建系如图，则E(，0，1)，C1(1，1，1)，F(，0，0)， C(1，1，0)，＝(1，1，1)， ＝(，0，1)，＝(，0，0)． 设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则，令x＝2，则z＝－1，y＝－1. 故n＝(2，－1，－1)是平面AEC1的一个法向量， 则点F到平面AEC1的距离为d＝＝， 由于CF∥平面AEC1，故直线CF到平面AEC1的距离为. 答案： 第1课时　利用空间向量求空间角 考点一　异面直线所成的角(综合性) 1．(2022·河南高中调研)如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，B是底面圆周上的一点，且∠BOC＝60°，M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析：C　以O为坐标原点，过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设OC＝2，则根据题意可得A(0，－2，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，M(0，－1，)，所以＝(，3，0)，＝(0，－3，)． 设异面直线AB