(配套教参)第六章 第3节 等比数列-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，北师大版）

第3节　等比数列 课程标准解读 1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式. 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. 3.了解等比数列与指数函数的关系． [知识梳理] 1．等比数列的定义与等比中项 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都等于同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)，定义的表达式为＝q. (2)等比中项：在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab． 　等比数列的任意一项都不能为零．公比不能为零． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1． (2)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (3)前n项和公式： Sn＝ 　在运用等比数列前n项和公式时，必须注意对q＝1和q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情况而导致解答错误． 3．等比数列的常用性质 (1)项的性质 若m＋n＝p＋l＝2k(m，n，p，l，k∈N*)，则am·an＝ap·al＝a. (2)和的性质 ①若等比数列{an}有2k(k∈N*)项，则＝q； ②公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn． 4．等比数列与指数型函数的关系 (1)当q＞0且q≠1时，an＝·qn可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上． (2)对于非常数列的等比数列{an}的前n项和Sn＝＝－qn＋，若设a＝，则Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)．由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点． (3)若等比数列为常数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点． (4)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(其中q≠0，且q≠1，AB≠0)，则A＝－B是数列{an}为等比数列的充要条件． 常用结论 1．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，{}，{a}，{an·bn}，{}仍是等比数列． 2．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　) (2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　) (3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　) (4)如果数列{ln an}为等差数列，则数列{an}是等比数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a4＝，则公比q等于(　　) A．－　　 B．－2　　 C．2　　 D．± 解析：D　设等比数列的公比为q, 由{an}是等比数列．a2＝2，a4＝，则q2＝＝，解得q＝±. 3．(教材改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn， a2＝－8，a7＝，则S6＝(　　) A．－ B． C． D． 解析：C　设等比数列{an}的公比为q，由a2＝－8，a7＝，得q5＝＝－，∴q＝－，a1＝16，故S6＝. 4．(易错自纠)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 解析：C　当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－.综上，q的值是1或－. 5．(易错自纠)已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5＝(　　) A．－2 B．±2 C．2 D．± 解析：C　因为a2a3a4＝1，所以a3＝1， 因为a6a7a8＝64，所以a7＝4， 又a＝a3a7＝4，又a5与a3同号， 所以a5＝2. 考点一　等比数列的基本运算(基础性) 1．(2022·湖南常德一模)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＝4，S3＝S2＋2，则a1＝(　　) A．　　　 B．1　　　 C．　　　 D．2 解析：A　设{an}的公比为q，由已知得a3＝S3－S2＝2，则q＝＝＝2，所以a1＝＝＝，故选A． 2．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 解析：D