(配套教参)第六章 第2节 等差数列-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，北师大版）

第2节　等差数列 课程标准解读 1．能够利用公式求等差数列指定项、前n项和.2.会利用等差数列定义、等差中项证明数列是等差数列.3.熟练掌握利用等差数列性质求等差数列指定项(或其项数)、公差；利用等差数列的单调性求前n项和的最值． [知识梳理] 1．等差数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项且a＋b＝2A． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝． 3．等差数列的性质 (1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an． (2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (3)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列． 4．等差数列与函数的关系 (1)等差数列{an}的通项公式可写成an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，它是关于n的一次函数，它的图象是直线y＝dx＋(a1－d)上横坐标为正整数的均匀分布的一系列孤立的点． 　当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． (2)前n项和公式可变形为Sn＝n2＋n，当d≠0时，它是关于n的常数项为0的二次函数，那么点(n，Sn)在二次函数y＝x2＋x的图象上． 常用结论 1．数列{an}为等差数列的充要条件是an＝kn＋b(k，b∈R). 2．若数列{an}的前n项和为Sn，则“数列{an}为等差数列”的充要条件是“Sn＝an2＋bn(a，b∈R)”． 3．在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　) (2)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　) (3)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(　　) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是∀n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改编)已知等差数列{an}中，a2＝3，前5项的和S5＝10，则数列{an}的公差为(　　) A．－1　　 B．－　　 C．－2　　 D．－4 解析：A　设等差数列{an}的公差为d，∵S5＝5a3＝10，∴a3＝a2＋d＝2，又a2＝3，∴d＝－1. 3．(教材改编)已知等差数列{an}中，a3＝4，a7＝8，则a10＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：C　设等差数列{an}的公差为d，则解得故a10＝2＋9＝11. 4．(易错自纠)一物体从1960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面． 解析：设物体经过t秒降落到地面． 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列． 所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1960， 即4.90t2＝1960，解得t＝20. 答案：20 5．(易错自纠)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则d的取值范围为__________． 解析：由题意知d<0且即 解得－1<d<－. 答案： 考点一　等差数列基本量的运算(基础性) 1．(2022·湖南联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a7－a11＝4，则S5＝(　　) A．15　　 B．20　　 C．25　　 D．30 解析：B　设等差数列{an}的公差为d，则2(a1＋6d)－(a1＋10d)＝a1＋2d＝4，所以S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5×4＝20，故选B． 2．(多选题)(2022·福州一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，若Sn≤S6，则(　　) A．a1<0 B．d<0 C．a6＝0 D．S13≤0 解析：BD　因为Sn≤S6，所以S5≤S6且S7≤S6，即a6＝S6－S5≥0，a7＝S7－S6≤0，因为d≠0，即a6，a7不同时为0，所以d＝a7－a6<0，因为a6≥0，即a1＋5d≥0，所以a1>0，S13＝＝1