(配套教参)第九章 第8节 二项分布与超几何分布、正态分布-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，北师大版）

第8节　二项分布与超几何分布、正态分布 课程标准解读 1．理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题. 2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用． [知识梳理] 1．伯努利试验与二项分布 (1)n重伯努利试验 一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验． (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)． 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)． 显然，两点分布是二项分布在参数n＝1时的特殊情况． (3)二项分布的均值、方差 若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)． 2．超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}． 其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布． 一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝． 3．正态分布 (1)定义 连续型随机变量其分布密度函数解析式为 φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ＞0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线． 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ＞0)确定，记为X～N(μ，σ2)．其中EX＝μ，DX＝σ2． (2)正态曲线有如下性质 ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交． ②曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称． ③曲线的最高点位于x＝μ处． ④当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线． (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6826； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9544； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9974. 常用结论 1．利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率． 2．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(　　) (2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　) (3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立．(　　) (4)正态分布是对于连续型随机变量而言的．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(教材改编)设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 答案：D 3．(教材改编)已知X是一个随机变量，若X～B(6，)，则P(X＝2)＝(　　) A． B． C． D． 解析：D　由题意知n＝6，p＝，故P(X＝2)＝C×()2×(1－)6－2＝C×()2×()4＝. 4．(易错自纠)若随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，ξ在区间(4，＋∞)上取值的概率是0.2，则ξ在区间(0，2)上取值的概率为________． 解析：因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)， 所以所求概率P(0<ξ<2)＝＝0.3. 答案：0.3 5．(易错自纠)箱中有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出2个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________． 解析：由题意知，获奖的概率P＝＝，记获奖的人数为ξ，ξ～B， ∴4人中恰好有3人获奖的概率 P＝C×＝. 答案： 考点一　n重伯努利试验与二项分布(综合性) [角度1]　n重伯努利试验的概率 　(1)如图，在网格状小地图中，一机器人从A(0，0)点出发，每秒向上或向右行走1格到相应顶点，已知向上的概率是，向右的概率是，则6秒后到达B(4，2)点的概率为(　　) A．