(配套教参)第二章 第8节 方程解的存在性及方程的近似解-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，北师大版）

第8节　方程解的存在性及方程的近似解 课程标准解读 1．理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解． [知识梳理] 1．函数的零点 (1)定义：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点． 2．零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 　连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 4．二分法 条件 (1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续的曲线． (2)在区间端点的函数值满足f(a)·f(b)＜0 方法 不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程f(x)＝0的解，进而得到零点近似值 常用结论 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．若周期函数有零点，则必有无穷多个零点． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　) (4)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 f(x) －4 －2 1 4 7 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　) A．(1，2)　　　　　　 B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 解析：B　由表格知f(2)f(3)<0，且f(x)图象连续不断． ∴f(x)在(2，3)内必有零点． 3．(教材改编)已知函数f(x)＝则f(x)的零点为________． 解析：由f(x)＝0得或 解得x＝－2或x＝e. 答案：－2或e 4．(易错自纠)已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x2<x3<x1 D．x3<x1<x2 解析：C　作出y＝x，y＝(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示． 根据直线y＝x与图象交点知x2<x3<x1. 5．(2023·华大新高考联盟测试)函数f(x)＝4x－4x2的零点个数为(　　) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 解析：D　令f(x)＝0，得4x－1＝x2.在同一平面直角坐标系中分别作出y＝4x－1，y＝x2的大致图象如图所示，观察可知，两个函数的图象有3个交点，故函数f(x)＝4x－4x2的零点个数为3. 考点一　函数零点所在区间的判断(基础性) 1．(多选题)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　) A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 解析：AD　f(－2)＝>0，f(－1)＝－1<0， f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0. 又f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0， 所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点． 2．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　) A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点 B．在区间(，1)(1，e)内均无零点 C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点 解析：D　令f(x)＝0得x＝ln x. 作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图所示． 显然y＝f(x)在(，1)内无零点，在(1，e)内有零点． 3．(2023