(配套教参)第八章 第7节 抛物线-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，北师大版）

第7节　抛物线 课程标准解读 1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质. 2.了解抛物线的简单应用.3.通过抛物线的学习，进一步体会数形结合的思想. [知识梳理] 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线，这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 开口 方向 向右 向左 向上 向下 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 常用结论 1．通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦． 2．抛物线y2＝2px(p≠0)的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－. 3．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F(，0)的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　) (3)过抛物线的焦点垂直于对称轴的弦，是抛物线过焦点最短的弦．(　　) (4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D．0 答案：B 3．(教材改编)抛物线y＝x2的准线方程是(　　) A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 答案：A 4．(易错自纠)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________． 答案：y2＝－x或x2＝y 5．(易错自纠)点A是焦点为F的抛物线y2＝2px上的一点，若|AF|＝4，AF的中点为M，则M点到y轴的距离为________． 解析：以AF为直径的圆与y轴相切，半径为2. 答案：2 考点一　抛物线的定义及其应用(基础性) 1．动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 答案：y2＝4x 2．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为__________． 解析：如图所示，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1， 则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4， 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 答案：4 3．已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________． 解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|， 则∠NMH＝45°.在Rt△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|. 而|FK|＝1.所以|MF|＝. 答案： 应用抛物线定义的2个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化． (2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋. 考点二　抛物线的标准方程及其性质(应用性) [角度1]　求抛物线标准方程 　(1)点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝y B．x2＝y或x2＝－y C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y [解析]　将y＝ax2化为x2＝y. 当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6， ∴a＝. 当a<0时，准线y＝－，则＝6， ∴a＝－. 所以抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y. [答案]　D (2)(2023·沈阳质检)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的标准方程为(　　) A．y2＝4x或y2＝8x　 B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2