(配套教参)第八章 第6节 双曲线-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，北师大版）

第6节　双曲线 课程标准解读 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.2.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想及双曲线的应用． [知识梳理] 1．双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距． 　当|PF1|－|PF2|＝2a(2a<|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支；当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a<|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a， y∈R y≤－a或 y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0) A1(0，－a)， A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 实轴：线段A1A2，|A1A2|＝2a 虚轴：线段B1B2，|B1B2|＝2b a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 3.等轴双曲线 (1)定义：实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)性质：①a＝b；②e＝； ③两条渐近线y＝±x互相垂直； ④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 　e＝＝ ∈(1，＋∞)； e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大． 常用结论 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. 4．设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(　　) (2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　) (3)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　) (4)双曲线方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)已知点M为双曲线C：x2－＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝(　　) A．1　　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8 解析：B　由a2＝1，b2＝8， 得a＝1，c＝3， 则|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝|MF1|－|MF2|＋|F1F2|＝－2a＋2c＝4. 故选B． 3．(教材改编)已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的标准方程是(　　) A．－y2＝1 B．－x2＝1 C．x2－＝1 D．y2－＝1 解析：C　由双曲线的焦点在x轴上，排除B、D，而A的渐近线为y＝±x，故选C． 4．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________． 解析：－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±x， ∴m＝3， ∴c2＝4，∴c＝2，2c＝4. 答案：4 考点一　双曲线的标准方程(基础性) 1．(多选题)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1　　　　　 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：AB　设双曲线方程为－＝1(m≠0)， 又2a＝4，∴a2＝4， 当m＞0时，2m＝4，m＝2； 当m＜0时，－m＝4，m＝－4. 故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 2．(2021·北京卷)双曲线C：－＝1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 解析：A　∵e＝＝2，则c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1，将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此双曲线的方程为x2－＝1.故选A． 3．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是________． 解析：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)． 设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)