(配套教参)第八章 第3节 圆的方程-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，北师大版）

第3节　圆的方程 课程标准解读 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． [知识梳理] 1．圆的定义与方程 2．点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)． 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内 　二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件为 常用结论 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　) (2)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　) (3)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(　　) (4)方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0不是圆．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　) A．(2，3)，3　　　　　　　 B．(－2，3)， C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)， 解析：D　配方为(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 所以圆心坐标为(2，－3)，半径为，故选D． 3．(教材改编)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 解析：C　r2＝2，故选C． 4．(易错自纠)若点(－2，－1)在圆x2＋y2＋mx－2y＋3＝0的内部，则m的范围是________． 解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得＋(y－1)2＝－2. 由其表示圆可得－2>0， 解得m<－2或m>2. 又∵(－2)2＋(－1)2－2m＋2＋3<0，即m>5，故m>5. 答案：(5，＋∞) 考点一　求圆的方程(基础性) 1．圆心在x轴上，且过点(－1，－3)的圆与y轴相切，则该圆的方程是(　　) A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0 解析：C　由题意可设圆的方程为(x－a)2＋y2＝a2，再把点(－1，－3)代入，求得a＝－5，故该圆的方程是(x＋5)2＋y2＝25，即x2＋y2＋10x＝0，故选C． 2．(多选题)已知圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1∶2，且被y轴截得的弦长为4，当圆心C到直线x＋y＝0的距离最小时，圆C的方程为(　　) A．(x＋4)2＋(y－)2＝20 B．(x－4)2＋(y＋)2＝20 C．(x＋4)2＋(y＋)2＝20 D．(x－4)2＋(y－)2＝20 解析：AB　设圆心为C(a，b)，半径为r，圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1∶2，则其中劣弧所对圆心角为120°，由圆的性质可得r＝2|b|，又圆被y轴截得的弦长为4，∴a2＋4＝r2，∴a2＋4＝4b2，变形为b2－＝1， 即C(a，b)在双曲线y2－＝1上， 易知双曲线y2－＝1上与直线x＋y＝0平行的切线的切点为(a，b)，此点到直线x＋y＝0的距离最小． 设切线方程为x＋y＝m，由 消去y得x2＋8mx－(4m2－20)＝0， ∴Δ＝64m2＋4(4m2－20)＝0，解得m＝±1， m＝1时，m＝－1时， 即切点为(－4，)或(4，－)，半径为r＝2， ∴圆的方程为(x＋4)2＋(y－)2＝20或(x－4)2＋(y＋)2＝20. 3．(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________． 解析：①若圆过(0，0)，(4，0)，(－1，1)三点，设过这三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，分别将三点的坐标代入，可得 ，解得，易得D2＋E2－4F＞0，所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13. ②若圆过(0，0)，(4，0)，(4，2)三点， 在平面直角坐标系中作出这三个点，显然由这三个点的连线组成的三角形为直角三角形，该直角三角形的外接圆的圆心为点(0，0)和点(4，2)连线段的中点，即(2，1)，直径2R等于点(0，0)和点(4，2)连线段的长，即2R＝，可得R＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. ③若圆过(0，0)，(－1，1)，(4，2)三点，设过这三点的圆的一般方程