(配套教参)第八章 第1节 直线的倾斜角、斜率与直线方程-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，北师大版）

第1节　直线的倾斜角、斜率与直线方程 课程标准解读 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)． [知识梳理] 1．直线的倾斜角、斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角． ②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0． ③范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． (2)直线的斜率 ①定义：称k＝(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． ②直线的倾斜角与斜率的关系：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α. 2．直线方程的五种形式 名称 几何要素 方程形式 适用范围 点斜式 点(x0，y0)斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直 斜截式 斜率k纵截距b y＝kx＋b 两点式 点(x1，y1) 点(x2，y2) x1≠x2， y1≠y2 ＝ 与坐标轴不垂直 截距式 纵、横截距 a≠0、b≠0 ＋＝1 不过原点不垂直坐标轴 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A≠0或B≠0) 所有直线 常用结论 1．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． 2．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)所有的直线都有唯一的倾斜角，也就是都有唯一的斜率．(　　) (2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　) (3)直线的纵截距就是直线与y轴的交点到原点的距离．(　　) (4)直线l向上的方向与y轴的正方向所成的角与该直线的倾斜角互余．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　) A．1　　 B．4　　 C．1或3　　 D．1或4 解析：A　由题意得斜率k＝＝1，解得m＝1. 3．(教材改编)过点P(－1，)且倾斜角为30°的直线方程为(　　) A．x－3y＋4＝0 B．x－y＋2＝0 C．x－3y＋2＝0 D．x－y＝0 解析：A　k＝tan 30°＝， 故y－＝(x＋1)，即x－3y＋4＝0. 4．(易错自纠)经过点M(3，0)与N(6，0)两点的直线的倾斜角为________． 答案：0° 5．(易错自纠)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________． 解析：当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0. 答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0 考点一　直线的倾斜角与斜率(基础性) 1．已知两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈[－－1，－1]，则直线AB的倾斜角α的取值范围是(　　) A．[，)　　　　　　 B．(，] C．[，)∪(，] D．[，] 解析：D　①当m＝－1时，α＝； ②当m≠－1时，由m∈[－－1，－1]得k＝∈(－∞，－]∪[，＋∞)，∴α∈[，)∪(，]． 综合①②知直线AB的倾斜角α的取值范围是[，]． 2．若正三角形AOB(O是原点)一边所在直线的斜率为3，则该三角形另外两条边所在直线的斜率为(　　) A．－， B．－， C．－， D．－， 解析：C　如图，不妨设kOA＝3，即tan θ＝3，所以kOB＝tan(θ＋)＝＝ ＝－，kAB＝tan(θ－)＝＝＝，故选C． 3．直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0， )为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________． 解析：设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ ]．故直线l斜率的取值范围是(－∞，－ ]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－ ]∪[1，＋∞) 1．由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在[0，)和(，π]上的单调性求解． 2．由两点求斜率：过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范