(配套教参)第五章 第3节 平面向量的数量积-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，北师大版）

第3节　平面向量的数量积 课程标准解读 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． [知识梳理] 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，向量a与b的夹角∠AOB记为〈a，b〉或θ. (2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°． 　当a与b同向时，θ＝0°；a与b反向时，θ＝180°；a与b垂直时，θ＝90°. 2．向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a|·|b|·cos_θ叫作向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 3．投影向量 如图，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，得到a在b上的投影γ＝，γ称为投影向量． |a|cos〈a，b〉称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，也可以表示为． 4．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 　a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，还有可能a⊥b. 5．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) x1y2－x2y1＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ 常用结论 1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是.(　　) (2)向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量．(　　) (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　) (4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改编)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1且|3a－2b|＝，则a，b的夹角为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析：A　设a，b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7，即9×1＋4×1－12×1×1×cos θ＝7，解得cos θ＝，又θ∈[0，π]，故θ＝. 3．(教材改编)模长为4的向量a与单位向量e的夹角为，则向量a在向量e方向上的投影向量为__________ 解析：向量a在向量e方向上的投影向量为|a|cos π·e＝4×(－)e＝－2e. 答案：－2e 4．(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________． 解析：∵a⊥b，∴a·b＝m＋3(m＋1)＝4m＋3＝0，解得m＝－. 答案：－ 5．(易错自纠)已知向量a＝(5，5)，b＝(λ，1)，若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为__________． 解析：由题意(a＋b)·(a－b)＞0，即a2－b2＞0，52＋52＞λ2＋12，∴－7＜λ＜7；若a＋b与a－b共线，则a＋b＝k(a－b)，则 解得要使a＋b与a－b的夹角为锐角，则λ≠1，综上λ的范围是(－7，1)∪(1，7)． 答案：(－7，1)∪(1，7) 考点一　平面向量数量积的运算(综合性) [角度1]　数量积的基本运算 1．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：C　由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1，故选C． 2．(2022·湖南邵阳一模)在▱ABCD中，＝(1，2)，＝(3，4)，则·＝