(配套教参)第五章 第1节 平面向量的概念及线性运算-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，北师大版）

第1节　平面向量的概念及线性运算 课程标准解读 1.理解平面向量的意义、几何表示及相等向量的含义. 2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及共线向量的含义. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义． [知识梳理] 1．平面向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量统称为向量，向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． (2)零向量：长度为0的向量，记作0，任何方向都可以作为0的方向． (3)单位向量：模等于1个单位长度的向量． (4)平行向量(共线向量)：两个方向相同或相反的非零向量．向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa与a的方向相同； 当λ＜0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 (1)结合律：λ(μ a)＝λμ_a＝μ(λa)； (2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μ_a； (3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb. 　只有b≠0才能保证实数λ的存在性和唯一性． 常用结论 1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 2．若G为△ABC的重心，则有 (1)＋＋＝0；(2)＝(＋)． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　) (2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　) (3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之亦成立．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等，则所有正确的命题的序号是(　　) A．① B．③ C．①③ D．①② 解析：A　根据零向量的定义可知①正确；两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误． 3．(教材改编)设M为△ABC所在平面内一点，且＝3，则(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 解析：A　由＝3，得＝，所以＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋. 4．(易错自纠)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立．故“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件． 5．(易错自纠)下列四个命题中，正确的是(　　) A．若a∥b，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若|a|＝|b|，则a∥b D．若a＝b，则|a|＝|b| 解析：D　A中，a∥b，则a＝λb，故A不正确；B、C中，由于向量a，b的模大小相等，但其方向不确定，故B、C都不正确；D显然正确. 考点一　平面向量的概念(基础性) 1．(多选题)下列命题中正确的有(　　) A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．a与b同向，且|a|>|b|，则a>b D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 解析：AD　由平行向量和共线向量的含义可知，A正确；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D正确． 2．(多选题)给出下列命题，不正确的有(　　) A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形 C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线 解析：ACD　A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因