(配套教参)第四章 第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用-【高考领航】2024高考数学大一轮复习教师用书word+课件PPT（新教材，北师大版）

第5节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 课程标准解读 1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． [知识梳理] 1．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个特征点 x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 常用结论 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标． [诊断自测] 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin(2x＋)．(　　) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　) (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改编)为了得到y＝3cos(3x＋)的图象，只需把y＝3cos(x＋)图象上的所有点的(　　) A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 答案：D 3．(教材改编)若P(x，y)是函数y＝sin(x－)图象上的一点，则Q(x，3y)就是函数y＝Asin(ωx－)(ω＞0，A＞0)图象上的相应的点，则ω，A的值分别为(　　) A．， 　 B．3，　 C．，3　 D．3，3 解析：D　设(x0，y0)是函数y＝sin(x－)图象上的一点，则y0＝sin(x0－)． 令x＝x0，y＝3y0，则x0＝3x，y0＝y， 代入y0＝sin(x0－)，得＝sin(3x－)． ∴y＝3sin(3x－)，因此A＝3，ω＝3. 4．(易错自纠)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________． 解析：观察函数图象可得周期T＝， 故T＝＝，则ω＝3. 答案：3 5．(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A． B． C． D． 解析：C　设平移后的曲线C对应的函数为y＝g(x)，则g(x)＝sin＝sin(ωx＋＋)， 又曲线C关于y轴对称， ∴＋＝＋kπ(k∈Z)，∴ω＝2k＋(k∈Z)． 又ω＞0，∴ωmin＝. 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换(综合性) 　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2. (1)求f(x)的解析式； (2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)； (3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ [解]　(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当x＝时，f(x)取得最大值2，所以A＝2， 同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， φ＝2kπ＋，k∈Z， 因为－＜φ＜，所以 φ＝， 所以f(x)＝2sin(2x＋)． (2)由x∈[0，π]，得≤2x＋≤π. 列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 描点，连线，得f(x)在x∈[0，π]的图象： (3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(x＋)的图象，再将y＝sin(x＋)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋)的图象，再将y＝sin(2x＋)上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin(2x＋)的图象． [母题探究1]　本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝2cos x的图象经过怎样的变换得到？ 解：因